Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 1:

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

BC²=AC²+AB²

BC²=4²+3²

BC=\(\sqrt{25}\)=5(cm)

Ta có:

Sin B=\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}=0.8\)

Cos B=\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0.6\)

Tag B=\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}\)

Cotg B=\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}=0.75\)

bài 2:

\(\sin\alpha^2+\cos\alpha^2=1\)

=>0,6²+\(\cos\alpha^2=1\)

=>\(\cos\alpha=0,8\)

\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=>\tan\alpha=\dfrac{0,6}{0,8}=0,75\)

\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{0,8}{0,6}\)\(\approx1,33\)

Tam giác ABD vuông tại A có AO là đường cao:

\(\dfrac{1}{AO^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\left(hlt\right)\)

\(\Rightarrow AO=12\left(cm\right)\)

Tam giác OAB vuông tại O:

\(AB^2=OA^2+OB^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OB=9\left(cm\right)\)

Tam giác OAD vuông tại O:

\(AD^2=OA^2+OD^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OD=16\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có DO là đường cao:

\(AD^2=OA\times AC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{100}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có:

\(AC^2=AD^2+DC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow DC=\dfrac{80}{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\times\left(AB+CD\right)\times AD=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)

Bài 2: 

a: \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}\)

\(=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)(đpcm)

b: \(BE\cdot CF\cdot BC\)

\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{CA}\cdot BC\)

\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AH\cdot BC}\cdot BC=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3\)(đpcm)

Lời giải:

Chưa hiểu chức năng của điểm F ở đây là gì?

Vì \(AD\parallel EB\Rightarrow \frac{DI}{IE}=\frac{AI}{IB}\) (Định lý Thales)

\(\Rightarrow \frac{DI}{DE}=\frac{AI}{AB}\Leftrightarrow \frac{DI^2}{DE^2}=\frac{AI^2}{AB^2}=\frac{DI^2-AD^2}{AB^2}\) (Định lý Pitago)

\(\Leftrightarrow \frac{DI^2}{DE^2}=\frac{DI^2}{AB^2}-1\Leftrightarrow \frac{DI^2}{DE^2}+1=\frac{DI^2}{AB^2}\)

Chia hai vế cho \(DI^2\) thu được:

\(\frac{1}{DE^2}+\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{AB^2}=\text{constant}\)

Do đó \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DE^2}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm $I$

đây là bài tương tự của bài 9 SGK Toán 9 trang 70 :v trên mạng chắc chắn có giải rồi >///< bn tự tham khảo nhé ~~!

DB/DC=2/3 nên AB/AC=2/3

=>HB/HC=4/9

=>HB=4/9HC

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC^2\cdot\dfrac{4}{9}=64\)

=>HC=12(cm)

=>HB=16/3(cm)

P=sin²20⁰+sin²40⁰+sin²45⁰+sin²50⁰+sin²70⁰

đổi sin²50⁰ thành cos²40⁰,sin²70⁰ thành cos²20⁰ rồi thay vào ta được:

sin²20⁰+cos²20⁰+sin²40⁰+cos²40⁰+\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)

=\(2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\)

Giải: ĐKXĐ: AB, AC > 0

Có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{AB}{3}=\dfrac{AC}{4}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{9}=\dfrac{AC^2}{16}\)

Và \(AB^2+AC^2=BC^2=15^2=225\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau có:

\(\dfrac{AB^2}{9}=\dfrac{AC^2}{16}=\dfrac{AB^2+AC^2}{9+16}=\dfrac{225}{25}=9\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=81\\AC^2=144\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB^2=BC\cdot BH\Rightarrow81=15\cdot BH\Rightarrow BH=\dfrac{81}{15}\)

\(AC^2=BC\cdot HC\Rightarrow144=15\cdot HC\Rightarrow HC=\dfrac{144}{15}\)

Vậy..........