Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

4:

a: AB/AC=3/4

=>AC=20cm

y=căn 15^2+20^2=25cm

x=15*20/25=12(cm)

b: x=AH^2/HB=4,5cm

y=căn 3^2+4,5^2=3/2*căn 13(cm)

3:

a: AB=căn 5^2-4^2=3cm

y=3*4/5=2,4cm

x=3^2/5=1,8cm

b: x=12^2/16=9cm

y=căn 9*25=15cm

a: Xét ΔABM vuông tại B và ΔADN vuông tại D có

AB=AD

góc BAM=góc DAN

=>ΔABM=ΔADN

=>AM=AN

=>ΔAMN vuông cân tại A

b: 1/AM^2+1/AE^2

=1/AN^2+1/AE^2

=1/AD^2 ko đổi

a: BD=36mm=3,6cm

CD=60mm=6cm

=>BC=9,6cm

AB/AC=BD/CD=3,6/6=3/5

=>BH/CH=(AB/AC)^2=9/25

b: BH/CH=9/25

=>BH/9=CH/25=(BH+CH)/(9+25)=9,6/34=24/85

=>BH=216/85; CH=120/17

AH=căn BH*CH=72/17(cm)

1

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{.4}AC\)

Theo pytago xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sqrt{AB^2+AC^2}=BC^2\\ \Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2}=10\\ \Rightarrow AC=8\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3.8}{4}=6\)

Theo hệ thức lượng xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BH.BC\\ \Leftrightarrow BH=\dfrac{AH^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

2

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{27}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{27}{4}AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{27}{4}AC\right)^2+AC^2}=\dfrac{\sqrt{745}AC}{4}\) ( Theo pytago trong tam giác ABC vuông tại A)

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH.BC=AB.AC\\ \Leftrightarrow33,6.\dfrac{\sqrt{745}}{4}AC=\dfrac{27}{4}AC.AC\\ \Rightarrow AC=\dfrac{56\sqrt{745}}{45}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{27}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{42\sqrt{745}}{5}\\BC=\dfrac{\sqrt{745}}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{2086}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AC\approx33,97\\AB\approx229,28\\BC\approx231,78\end{matrix}\right.\)

3

`BC=HB+HC=36+64=100`

Theo hệ thức lượng có (trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH):

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{36.64}=48\)

\(AB=\sqrt{HB.BC}=\sqrt{36.100}=60\\ AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{64.100}=80\)

AB = 3cm

HC=căn 40^2-24^2=16

BC=AC^2/HC=100

AB=căn 100^2-40^2=20*căn 21

BH=100-16=84

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{40^2-24^2}=32$ (cm) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AC^2=HC.BC$

$\Rightarrow BC=\frac{AC^2}{HC}=\frac{40^2}{32}=50$ (cm) 

$BH=BC-HC=50-32=18$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30$ (cm)

Hình vẽ:

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AC=\dfrac{AB\cdot3}{4}=6,75\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+6,75^2}=11,25\left(cm\right)\)

Theo hệ thức lượng giác vào tam giác vuông ABC đường cao AH có:

\(AB\cdot AC=BC\cdot AH\Rightarrow60,75=11,25AH\Rightarrow AH=\dfrac{60,75}{11,25}=5,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{11,25}=7,2\left(cm\right)\)

ΔCAD vuông tại C có CH là đường cao

nên AH*HD=CH^2

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*HC=AH^2

AH*HD+BH*HC=CH^2+AH^2=CA^2

a: DE^2=EI*EF

=>EF=6^2/3=12cm

=>DF=căn 12^2-6^2=6*căn 3(cm)

b: IE=6^2/4=9cm

EF=9+4=13cm

DE=căn IE*EF=3căn 13(cm)

DF=căn 4*13=2căn 13(cm)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia BC tại E.

Tam giác AEM vuông tại A có \(AB\perp EM\)

Ta có: \(S_{AEM}=\dfrac{1}{2}AE.AM=\dfrac{1}{2}AB.ME\)

\(\Rightarrow AE.AM=AB.ME\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}=\dfrac{ME}{AE.AM}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}\left(1\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác vuông AEM:

\(AE^2+AM^2=ME^2\)

Thay vào (1) ta có:

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{AE^2+AM^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)

Mà AE = AN nên: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)