Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1:

1: Xét ΔADN vuông tại D và ΔBAM vuông tại A có

AD=BA

góc AND=góc BMA

=>ΔADN=ΔBAM

=>góc DAN=góc ABM

=>góc DAN+góc AMB=90 độ

=>AN vuông góc MB tại I

b: MB=căn  (2căn 5)^2+(căn 5)^2=5cm

AI=AB*AM/BM=2cm

MI=AM^2/MB=5/5=1cm

IB=5-1=4cm

a: BC=căn 3^2+4^2=5cm

HB=AB^2/BC=1,8cm

HC=5-1,8=3,2cm

AH=3*4/5=2,4cm

b: 

1: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*EB=EH^2

2: ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*FC=HF^2

=>AE*EB+AF*FC=HE^2+HF^2=EF^2=AH^2

AC=căn 10^2-8^2=6cm

AH=6*8/10=4,8cm

AE=AH^2/AB=4,8^2/8=2,88cm

AF=AH^2/AC=4,8^2/6=3,84cm

S AEF=1/2*2,88*3,84=5,5296cm2

S ABC=1/2*6*8=24cm²

=>S BEFC=24-5,5296=18,4704cm²

ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

△ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

⇒ \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=6\) 

\(\text{△}ABC\) vuông tại A, theo hệ thức lượng

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BD.BC\\AC^2=CD.BC\end{matrix}\right.\)⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4\\CD=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\end{matrix}\right.\)

a: Đặt BH=x; CH=y(x<y)

Theo đề, ta có: xy=12^2=144 và x+y=48

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

x^2-48x+144=0

=>x=24-12 căn 3 hoặc x=24+12căn 3

=>BH=24-12căn 3 và CH=24+12căn 3

\(AB=\sqrt{\left(24-12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq12,42\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(24+12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq46,36\left(cm\right)\)

b: AM=BC/2=24cm

sin AMH=AH/AM=12/24=1/2

=>góc AMH=30 độ

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

a=25cm =>BC=25cm

b=15cm =>AC=15cm

AC=căn 25^2-15^2=20cm

AH=15*20/25=12cm

BH=15^2/225=9cm

CH=25-9=16cm

Lời giải:

Vì $\frac{BC}{AB}=\frac{5}{7}$ nên đặt $BC=5a; AB=7a(a>0)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{30^2}=\frac{1}{(7a)^2}+\frac{1}{(5a)^2}=\frac{74}{1225a^2}$

$\Rightarrow a=\frac{6\sqrt{74}}{7}$ (cm) 

$\Rightarrow AB=7a=6\sqrt{74}$ (cm) và $BC=5a=\frac{30\sqrt{74}}{7}$ (cm) 

Áp dụng định lý Pitago:

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=42$ (cm) 

$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\frac{150}{7}$ (cm)

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$144=AH^2=BH.HC(1)$

$BH+CH=BC=25(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng định lý Viet đảo thì $BH, CH$ là nghiệm của pt: $x^2-25x+144=0$

$\Rightarrow BH, CH= (16,9)$

Mà $AB< AC$ nên $BH< CH$

$\Rightarrow BH=9; CH=16$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm) 

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$ (cm)

b. 

$AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}$ (cm) 

$\sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{AM}=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 74^0$

c. 

$HM=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ: