Bài 1: Mở đầu về phương trình

Tuấn Nguyễn Minh
Xem chi tiết
Akai Haruma
4 tháng 7 2018 lúc 16:21

Lời giải:

\(4x^3+x=12y^3+y\)

\(\Leftrightarrow 4(x^3-y^3)+(x-y)=(2y)^3\)

\(\Leftrightarrow 4(x-y)(x^2+xy+y^2)+(x-y)=(2y)^3\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(4x^2+4xy+4y^2+1)=(2y)^3(*)\)

Giả sử $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$

Do \(4x^2+4xy+4y^2+1\) lẻ nên $p$ lẻ.

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x-y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.(1)\). Lại có $(*)$ suy ra \((2y)^3\vdots p\Rightarrow y^3\vdots p\Rightarrow y\vdots p(2)\) (vì $p$ nguyên tố lẻ)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots p\\ y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\)

Hoàn toàn vô lý vì $p$ là số nguyên tố

Tức là giữa $x-y,4x^2+4xy+4y^2+1$ không tồn tại ước nguyên tố chung, nghĩa là chúng nguyên tố cùng nhau.

Mà tích của chúng lại là một số lập phương \((2y)^3\), do đó bản thân mỗi số $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$ cũng là một lập phương của số nguyên

Do đó ta có đpcm.

 

 

 

Bình luận (0)