Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

*Vì 8a < 13a

mà 8 < 13

=> a là số dương

*Vì 17a < 9a

mà 17 > 9

=> a là số âm

*Vì -3a > -5a

mà -3 > -5

=> a là số dương

* Vì -4a < -7a

mà: -4 > -7

=> a là số âm

Bởi vì quy tắc nó là như vậy

Khi nhân cả 2 vế của BĐT cho 1 số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức đó-.-

Khi nhân cả 2 vế của 1 bđt với cùng 1 số âm ta đc bđt mới ngược chiều với bđt đã cho

Vậy nên khi ta lấy -4a . -1/4 < -4b.-1/4 <=> -4a < -4b

<=> a<b

Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Ta có : b - a < 0 ( vì a > b > 0 )

ab > 0 ( vì a > b > 0)

=> \(\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy : \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

Áp dụng : chứng mih quy tắc “lấy nghịch đảo ” sau đây nếu a>b>0 thì 1/a<1/b

Em hãy lấy ví dụ minh hoạ

Áp dụng BĐT cho 2 số ta có

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}}=2b\)

cm tương tự ta đc

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\)

cộng các vế vs nhau ta đc

\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ab}{c}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\) (1)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :

\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2c\) (2)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{ab}{c}\) ,ta có :

\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{ca}{b}.\dfrac{ab}{c}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2a\) (3)

Từ (1)(2)(3) cộng vế với vế ,có:

\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:

\(x^4+1+1+1\geq 4\sqrt[3]{x^4}=4|x|\geq 4x\)

\(y^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{y^4}=4|y|\geq 4y\)

Cộng theo vế:

\(x^4+y^4+6\geq 4(x+y)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6\geq 8\Leftrightarrow x^4+y^4\geq 2\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)

ta có (a-1)² ≥ 0 ∀a

<=> a²-2a+1 ≥ 0

<=>a²+4a-2a+1 ≥ 4a (cộng cả 2 vế va 4a)

<=> a²+2a+1 ≥ 4a

<=> (a+1)² ≥ 4a

CM tương tự ta đc

(b+1)² ≥ 4b

(c+1)² ≥ 4c

Nhân các vế với nhau ta có

[(a+1)²+(b+1)² +(c+1)² ]² ≥ 4a.4b.4c

<=> [(a+1)²+(b+1)² +(c+1)² ]² ≥64abc

<=> [(a+1)²+(b+1)² +(c+1)² ]² ≥64 (vì abc =1)

<=> (a+1)²+(b+1)² +(c+1)² ≥8 (đpcm)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)