So sánh hai số x và y nếu:
a) -7x+13 ˃ -7y+13
b) 11x-1 ˃ 11y+1
c) -19x-37 ˂ -19y-37
d) -23x-2 ˃ -23y+3
So sánh hai số x và y nếu:
a) -7x+13 ˃ -7y+13
b) 11x-1 ˃ 11y+1
c) -19x-37 ˂ -19y-37
d) -23x-2 ˃ -23y+3
a) Ta có: -7x+13>-7y+13
\(\Leftrightarrow-7x>-7y\)
hay x<y
b) Ta có: 11x-1>11y+1
mà 11x+1>11x-1
nên 11x+1>11y+1
\(\Leftrightarrow11x>11y\)
hay x>y
c) Ta có: -19x-37<-19y-37
\(\Leftrightarrow-19x< -19y\)
hay x>y
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng abc > (b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
Ta có:
\(\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)
\(\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)
Nhân từng 3 vế BĐT trên, ta được:
\(\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\right]^2\le\left[abc\right]^2\)
Tương tự suy ra:
\(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)
cho m > n. chứng minh 5m + 1 > 5n - 4
giúp mink nh!
Ta có:
m > n
\(\Rightarrow\) 5m > 5n
mà 1 > -4
\(\Rightarrow\) 5m + 1 > 5n - 4
Chúc bạn học tốt!!! ngoc do
Chứng minh bất đẳng thức : ( a + b )2 ≤ 2( a2 + b2)
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>Đpcm
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( luôn đúng )
dấu " = " xảy ra khi a = b
xoắn:v Bunyakovsky: \(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)
Cho a + b > 2 . Chứng minh rằng :
a. a2 + b2 > 2
b. a4 + b4 > 2
Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>2\left(đpcm\right)\)
1.Cho các số dương a,b. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)
2. Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta luôn có:
a. a2 + b2 \(\ge\) 2ab
b. a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
Chứng minh rằng với mọi số a ta luôn có:
a. a2 + a+ 1 \(\ge\) 0
b. -a - 6a \(\le\) 9
a, Ta có : \(a^2+a+1=a^2+2\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)
\(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
Vậy : \(a^2+a+1>0\)
b, Xét hiệu : \(-a^2-6a-9\)\(=-\left(a^2+6a+9\right)=-\left(a+3\right)^2\le0\)
Vậy : \(-a^2-6a\le9\) Dấu "=" xảy ra khi a = - 3
đề câu b phải là -a^2-6a chứ
bạn xem lại đề hộ mk nếu đúng mk sẽ làm cho nha
cho bốn số dương a,b,c,d thỏa mãn \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng \(\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}< 0\)
\(\Rightarrow\dfrac{ad-bc}{bd}< 0\)
Mà \(bd>0\) (do b,d dương)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad-bc< 0\\bd>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad< bc\\bd>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{bd}{ad}>\dfrac{bd}{bc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\)
\(\rightarrowđpcm\)
1. Cho a < b, chứng tỏ rằng:
a). \(3-6a>1-6b\)
b). \(7\left(a-2\right)< 7\left(b-2\right)\)
c). \(\dfrac{1-2a}{3}>\dfrac{1-2b}{3}\)
2. So sánh a và b nếu:
a). \(a+23< b+23\)
b). \(-12a>-12b\)
c). \(5a-6\ge5b-6\)
d). \(\dfrac{-2a+3}{5}\le\dfrac{-2b+3}{5}\)
Bài 1:
a). Ta có: a < b
=> -6a > -6b
mà 3 > 1
=> \(3-6a>1-6b\)
b)
Ta có: a < b
=> a - 2 < b - 2
=> \(7\left(a-2\right)< 7\left(b-2\right)\)
c)
Ta có: a < b
=> -2a > -2b
=> 1 - 2a > 1 - 2b
\(\Rightarrow\dfrac{1-2a}{3}>\dfrac{1-2b}{3}\)
Bài 2:
a) Ta có:
a+23<b+23
\(\Leftrightarrow a< b\)
b) Ta có:
\(-12a>-12b\)
\(\Leftrightarrow a< b\)
c) Ta có:
\(5a-6\ge5b-6\)
\(a\ge b\)
d) Ta có:
\(\dfrac{-2a+3}{5}\le\dfrac{-2b+3}{5}\)
\(\Leftrightarrow-2a+3\le-2b+3\)
\(\Leftrightarrow a\ge b\)