Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Áp dụng bđt tam giác ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế suy ra đpcm

a/ \(a-8\ge b-8\)

=> \(a\ge b\) (cộng cả 2 vế bđt với 8)

b/ \(13+a\le13+b\)

=> \(a\le b\) (cộng cả 2 vế bđt với -13)

a,

có a - 8 lớn hơn hoặc bằng b - 8 (cộng cả hai vế với -8)

suy ra a lớn hơn hoặc bằng b

b,

có 13 + a nhỏ hơn hoặc bằng 13 + b (cộng cả hai vế với 13)

suy ra a nhỏ hơn hoặc bằng b

a,\(a-8\ge b-8\)

\(\Leftrightarrow a-8+8\ge b-8+8\)\(\left(cộngcảhaivecho8\right)\)

\(\Leftrightarrow a\ge b\)

b,\(13+a\le13+b\)

\(\Leftrightarrow13+a-13\le13+b-13\left(trừca2vecho13\right)\)

\(\Leftrightarrow a\le b\)

1,53<1,8

\(\dfrac{12}{-18}\)=\(\dfrac{-2}{3}\)

-2,37>-2,41

1,53 < 1,8

12/-18 = -2/3 vi 12.3= 36 = -18.-2=36

-2,37>-2,41

3/5 < 13/20 vi 3.20=60 < 13.5=65

Ta có:

\(A=x\left(x^3-1\right)-y\left(y^3-1\right)=x^4-x-y^4+y\)

\(=\left(x^4-y^4\right)+\left(-x+y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-1\right)=\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^2-2xy-1\right]\)

\(=-2xy\left(x-y\right)\)

\(B=\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)=x^3y^3-x^3-y^3+1\)

\(=x^3y^3+1-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^3y^3+1-\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)

\(=xy\left(x^2y^2+3\right)\)

Từ đó ta có:

\(\dfrac{x}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}+\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)

\(=\dfrac{x\left(x^3-1\right)-y\left(y^3-1\right)}{\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)

\(=\dfrac{-2xy\left(x-y\right)}{xy\left(x^2y^2+3\right)}+\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=-\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}+\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)

\(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow ab\cdot\dfrac{1}{a}< ab\cdot\dfrac{1}{b}\)(nhân cả hai vế với ab>0)

\(\Leftrightarrow b< a\)(luôn đúng)

=>đpcm

a)Vì a<b=>2a<2b

=>2a+5<2b+5

b)Vì a<b=>-10a>-10b

=>2-10a>2-10b

c)Vì a<b=>7a<7b

=>7a-3<7b-3(1)

Vì -3<-1=>7b-3<7b-1(2)

Từ (1) và (2)=>đpcm

d)Vì a<b=>\(-\dfrac{a}{3}< -\dfrac{b}{3}\)

=>\(3-\dfrac{a}{3}>3-\dfrac{b}{3}\)(3)

Vì 3>1=>\(3-\dfrac{b}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)(4)

Từ (3) và (4)=> đpcm

a, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) 2a < 2b \(\Rightarrow\) 2a + 5 < 2b + 5

b, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) -10a > -10b (đổi dấu) \(\Rightarrow\) 2 + (-10a) > 2 + (-10b) \(\Leftrightarrow2-10a>2-10b\)

c, Ta có: a < b \(\Rightarrow\)7a < 7b

Lại có: -3 < -1

\(\Rightarrow\) 7a + (-3) < 7a + (-1) \(\Leftrightarrow\) 7a - 3 < 7b - 1

d, Ta có: a < b \(\Rightarrow-\dfrac{a}{3}>-\dfrac{b}{3}\)(đổi dấu)

Lại có: 3 > 1

\(\Rightarrow3+\left(-\dfrac{a}{3}\right)>1+\left(-\dfrac{b}{3}\right)\Leftrightarrow3-\dfrac{a}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)

a²+b²+c²-ab-bc-ac\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)