Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

ko

Lời giải:

Vì \((SBC)\perp (ABC)\) nên từ $S$ hạ đường cao $SH$ xuống cạnh $BC$ thì $SH$ chính là đường cao của hình chóp.

Do tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên dễ tính được \(SH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \angle ABC=\frac{BA}{BC}=\frac{BA}{a}\Rightarrow BA=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

\(\frac{1}{2}=\sin \angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}\)

Do đó, \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.SH.\frac{AB.AC}{2}=\frac{a^3}{16}\)

Từ $H$ kẻ \(HK\perp AB\), lấy \(HT\perp SK\) tại $T$

Khi đó, \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ HK\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow (SHK)\perp AB\rightarrow HT\perp AB\)

Mà \(HT\perp SK\) nên suy ra \(HT\perp (AB,SK)\Leftrightarrow HT\perp (SAB)\)

Như vậy \(HT=d(H,(SAB))=\sqrt{\frac{SH^2.HK^2}{SH^2+HK^2}}\)

Biết \(SH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\); \(HK=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{4}\)

\(\Rightarrow HT=\frac{\sqrt{39}a}{26}\)

Có \(d(C,(SAB))=2d(H,(SAB))=2HT=\frac{\sqrt{39}a}{13}\)

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Lời giải:

Để hình dung cho dễ bạn đảo đỉnh $B$ lên trên. Đề bài chắc thiếu dữ kiện, mình nghĩ tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$

Kẻ \(BT\perp AC(T\in AC)\). Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $T$ là trung điểm $AC$; \(BT=\frac{a\sqrt{2}}{2}\); \(AC=\sqrt{2}a\)

Vì \(SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BT\)

Từ hai điều trên suy ra \(BT\perp (SAC)\)

Kẻ \(TK\perp SC\). Khi đó:

\(\angle ((SAC),(SBC))=\angle (TK,BK)=\angle BKT=60^0\)

\(\Rightarrow \tan \angle BKT=\frac{BT}{TK}=\sqrt{3}\Rightarrow TK=\frac{\sqrt{6}a}{6}\)

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, dễ thấy

\(\triangle SAC\sim \triangle TKC\Rightarrow \frac{SA}{AC}=\frac{TK}{KC}=\frac{TK}{\sqrt{TC^2-TK^2}}=\frac{TK}{\sqrt{\frac{AC^2}{4}-TK^2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SA=AC.\frac{\sqrt{2}}{2}=a\)

Do đó \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{AB.BC}{2}=\frac{a^2}{6}\)