Bài 3: Hình thang cân

Ta có:

\(AB||CD\Rightarrow\widehat{AKD}=\widehat{CDK}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{CDK}=\widehat{ADK}\) (do DK là phân giác góc D)

\(\Rightarrow\widehat{ADK}=\widehat{AKD}\)

\(\Rightarrow\Delta ADK\) cân tại A

\(\Rightarrow AD=AK\) (1)

Tương tự ta có: \(\widehat{DCK}=\widehat{BKC}\) (so le trong)

\(\widehat{DCK}=\widehat{BCK}\) (CK là phân giác góc C)

\(\Rightarrow\widehat{BCK}=\widehat{BKC}\Rightarrow\Delta BCK\) cân tại B

\(\Rightarrow BC=BK\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AB=AK+BK=AD+BC\) (đpcm)

a) Xét ΔABC có 

BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\)(Tính chất tia phân giác)(1)

Xét ΔABC có 

CE là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất tia phân giác)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên AB=AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\)

Xét ΔABC có

\(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\)(cmt)

nên ED//BC(Định lí Ta lét đảo)

Xét tứ giác BEDC có ED//BC(cmt)

nên BEDC là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BEDC(ED//BC) có \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(ΔABC cân tại A)

nên BEDC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có: \(\widehat{EDB}=\widehat{DBC}\)(ED//BC)

mà \(\widehat{DBC}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác)

nên \(\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\)

Xét ΔEBD có \(\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\)(cmt)

nên ΔEBD cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

hay ED=EB(đpcm)

AH // BK (cùng vuông góc CD)

AB // CD (gt)

=> AH = BK (cùng cắt AB và CD)

Xét tam giác AHD và tam giác BKC ta có:

 Góc H = Góc K = 90 độ (gt)

 DH = CK (gt)

 AH = BK (cmt)

=> Tam giác AHD = Tam giác BKH (c.g.c)

=> Góc D = Góc C (hai góc tương ứng)

 Vậy: ABCD là hình thang cân