Bài 3: Hình thang cân

 a) Do ∆ABC cân tại A có AH là đường cao

⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ H là trung điểm của BC

Lại có HD = HA (gt)

⇒ H là trung điểm của AD

Ta có:

AH ⊥ BC

⇒ AD ⊥ BC

Xét tứ giác ABDC có:

H là trung điểm của BC (cmt)

H là trung điểm của AD (cmt)

⇒ ABDC là hình bình hành

Mà AD ⊥ BC (cmt)

⇒ ABDC là hình thoi

b) Do H là trung điểm của BC (cmt)

⇒ BH = BC : 2 = 6 : 2 = 3 (cm)

∆ABH vuông tại H (do AH ⊥ BC)

⇒ AB² = AH² + BH² (Pytago)

⇒ AH² = AB² - BH²

= 5² - 3²

= 16

⇒ AH = 4 (cm)

⇒ AD = AH = 4 (cm)

c) Tứ giác AHCF có:

E là trung điểm AC (gt)

E là trung điểm FH (gt)

⇒ AHCF là hình bình hành

Mà ∠AHC = 90⁰ (AH ⊥ BC)

⇒ AHCF là hình chữ nhật

⇒ AF ⊥ AH và FC ⊥ CH

d) Do ABDC là hình thoi (cmt)

⇒ ∠BAC = ∠BDC = 60⁰

Ta có:

∠BAC + ∠BDC + ∠ABD + ∠ACD = 360⁰ (tổng các góc của hình thoi ABDC)

⇒ ∠ABD + ∠ACD = 360⁰ - (∠BAC + ∠BDC)

= 360⁰ - (60⁰ + 60⁰)

= 360⁰ - 120⁰

= 240⁰

Mà ∠ABD = ∠ACD (hai góc đối của hình thoi ABDC)

⇒ ∠ABD = ∠ACD = 240⁰ : 2 = 120⁰

Vậy các góc của hình thoi ABDC lần lượt là:

∠BAC = ∠BDC = 60⁰

∠ABD = ∠ACD = 120⁰

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét tứ giác ABDC có

H là trung điểm chung của AD và BC

nên ABDC là hình bình hành

Hình bình hành ABDC có AB=AC

nên ABDC là hình thoi

b: H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=3\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=5^2-3^2=16\)

=>AH=4(cm)

AD=2*AH

=>AD=2*4=8(cm)

c: 

Xét tứ giác AHCF có

E là trung điểm chung của AC và HF

nên AHCF là hình bình hành

Hình bình hành AHCF có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCF là hình chữ nhật

=>AH\(\perp\)AF và HC\(\perp\)FC

d: ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=60^0\)

ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABD}=120^0\)

ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=120^0\)

Do ABCD là hình thang cân

\(\Rightarrow AD=BC\) và \(\widehat{FDA}=\widehat{FCB}\)

Do F là trung điểm của CD (gt)

\(\Rightarrow FC=FD\)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta BCF\) có:

\(AD=BC\) (cmt)

\(\widehat{FDA}=\widehat{FCB}\) (cmt)

\(FD=FC\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta BCF\) (c-g-c)

\(\Rightarrow AF=BF\) (hai cạnh tương ứng)

\(\Delta FAB\) có:

\(AF=BF\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta FAB\) cân tại F

Lại có E là trung điểm của AB

\(\Rightarrow FE\) là đường trung tuyến của \(\Delta FAB\)

\(\Rightarrow FE\) cũng là đường cao của \(\Delta FAB\)

\(\Rightarrow FE\perp AB\)

Mà AB // CD (gt)

\(\Rightarrow FE\perp CD\)

Vậy EF vuông góc với AB và CD

Xét ΔBCD có:

\(BC=CD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{Δ}BCD\) là tam giác cân tại C 

Mà: ABCD là hình thang cân nên: 

\(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=60^o\)  

\(\widehat{ABC}+\widehat{DCB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DCB}=180^o-60^o=120^o\)

ΔBCD lại là tam giác cân 

\(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{CDB}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o\)

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét tứ giác ABDC có

H là trung điểm chung của AD và BC

nên ABDC là hình bình hành

Hình bình hành ABDC có AB=AC

nên ABDC là hình thoi

b: H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=3\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=5^2-3^2=16\)

=>AH=4(cm)

AD=2*AH

=>AD=2*4=8(cm)

c: 

Xét tứ giác AHCF có

E là trung điểm chung của AC và HF

nên AHCF là hình bình hành

Hình bình hành AHCF có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCF là hình chữ nhật

=>AH\(\perp\)AF và HC\(\perp\)FC

d: ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=60^0\)

ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABD}=120^0\)

ABDC là hình thoi

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=120^0\)

a: BD là phân giác của góc ABC

=>\(\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\left(1\right)\)

CE là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ACB}\left(2\right)\)

ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

AB=AC

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

b: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

nên DE//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

Hình thang BEDC có \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân