Hình học lớp 8

rốt cuộc câu hỏi đâu bạn mình không hiểu gì hết !

Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB; các đường thẳng d1,d2 đi qua G và song song với AB,AC và cắt AC,AB tại L,H. Khi đó ta có: GL//AB=>AB/GL=BJ/GJ=3; GL//AM=>GL/AM=NG/MN.

Nhân hai đẳng thức theo vế thì được AB/AM=3NG/MN (*).

Một cách tương tự ta cũng chứng minh được AC/AN=3MG/MN (**).

Cộng (*) và (**) theo vế thì được AB/AM+AC/AN=3(NG+MG)/MN=3.

G????

kẻ \(AH\perp BC\left(H\in BC\right)\);\(AH\cap MN=\left\{E\right\}\)

vì MNPQ là HCN => MN//PQ hay MN//BC

mà \(AH\perp BC\)(cv)=>\(AH\perp MN\)

=>MEHQ,ENPH là các HCN

đặt ME=x; MQ=y(x,y>0)=>S_MEHQ=xy

ta có:ME//BH(cmt)=>\(\frac{ME}{BH}=\frac{AM}{AB}\)(hệ quả đlý tales)

MQ//AH(cùng vuông góc vs BC)

=>\(\frac{MQ}{AH}=\frac{BM}{AB}\)(hệ quả đlý tales)

do đó \(\frac{x}{BH}+\frac{y}{AH}=\frac{AM+MB}{AB}=1\)

áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:

\(\frac{x}{BH}+\frac{y}{AH}\ge2\sqrt{\frac{xy}{BH.AH}}\leftrightarrow1\ge2\sqrt{\frac{xy}{BH.AH}}\)

\(\leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}BH.AH\)hay \(S_{MEHQ}\le\frac{1}{4}BH.AH\)(1)

tương tự :\(S_{ENPH}\le\frac{1}{4}CH.AH\)(2)

cả 2 vế BĐT đều dương, cộng vế vs vế ta có:

\(S_{MNPQ}\le\frac{1}{4}\left(BH+CH\right)AH=\frac{1}{4}.BC.AH\)

\(S_{MNPQ}\le\frac{1}{2}S_{ABc}=3\)

dấu = xảy ra khi AM=MB,AN=NChay M và N lần lượt là TĐ của AB , AC