Cho tam giác ABC vuông tại A, Mlaf trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM = \(\frac{BC}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, Mlaf trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM = \(\frac{BC}{2}\)
Trên tia đối của MA vẽ MD sao cho MA = MD (như hình vẽ)
Xét Δ BMD và Δ CMA có:
BM = CM (gt)
BMD = CMA (đối đỉnh)
MD = AM (cmt)
Do đó, Δ BMD = Δ CMA (c.g.c)
=> BD = AC (2 cạnh tương ứng), BDM = CAM (2 góc tương ứng)
Mà BDM và CAM là 2 góc so le trong => BD // AC
Mà \(AB\perp AC\) nên \(AB\perp BD\)
Xét Δ ABD vuông tại B và Δ BAC vuông tại A có:
BD = AC (cmt)
AB là cạnh chung
Do đó, Δ ABD = Δ BAC (2 cạnh góc vuông)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
Mà \(AM=\frac{1}{2}AD\) do AM = MD
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)
Lên lớp 8 cái này chẳng cần chứng minh nữa :)))
Nghĩ sao câu nay được vào câu hỏi hay vậy thầy
Cho tam giác ABC, 2 đường trung tuyến AM, BN. Cho BC =a, CA = b, AM vuông góc BN. C/m: a2 + b2 = 5c2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy D bất kì trên BC. H, I là hình chiếu của B, C trên AD. AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a. BH = AI
b. BH2 + CI2 có giá trị không đổi
c. \(DN\perp AC\)
d. IM là phân giác của \(\widehat{HIC}\)
d) ĐK: D thuộc BM
t/g AHM = t/g CIM (c.g.c)
=> HM = IM (2 cạnh t/ứ) (1)
và AMH = CMI (2 góc t/ứ)
=> AMI + IMH = AMI + AMC = AMI + 90o
=> IMH = 90o (2)
Từ (1) và (2) => t/g HIM vuông cân tại M
=> HIM = 45o
Mà HIM + MIC = HIC = 90o
=> 45o + MIC = 90o
=> MIC = 45o = HIM
=> IM là p/g HIC (đpcm)
Ta dễ dàng tính được Tam giác DMN cân tại M
=>DM=MN (dựa vào số đo của các góc và 1 số c/m trên)
Từ M kẻ đường thẳng ME vuông góc với AD còn MF vuông góc với IC, ta dễ dàng c/m được tam giác MED=Tam giác MFN(cạnh huyền-góc nhọn)
=>ME=MF (là hai đường vuông góc tại điểm M gióng xuống hai cạnh của góc \(\widehat{HIC}\))
Theo tính chất của đường phân giác(Điểm nằm trên đường phân giác của góc này thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó)
=> IM là tia phân giác của \(\widehat{HIC}\).
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu có điểm D nằm trong tam giác sao cho AB=AD thì AB<AC
Giúp tớ nhé!!!!!!!!!Mai tớ học rùi
Kẻ thêm tia là làm đc, mi cx giỏi đấy, tau ... cô mi lên đây hỏi bài nha =))
Cho tam giác ABC có góc A =35 độ . Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.
b) Chứng minh AB//HD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.
d) Tính góc ACB , biết góc BDH= 35 độ .
a) Xét \(\Delta\)AHB vuông tại B và \(\Delta\)DBH vuông tại H có:
AH = DB (gt)
BH cạnh chung
=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (cgv - cgv)
b) Vì \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (câu a)
=> \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{DHB}\)(2 góc t/ư)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AB // HD.
c) Do \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (câu a)
=> AB = DH (2 cạnh t/ư)
Ta có: \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{DHB}\) (câu b)
hay \(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{DHO}\)
Vì AB // HD nên \(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{HDO}\) (so le trong)
Xét \(\Delta\)ABO và \(\Delta\)DHO có:
\(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{HDO}\) (c/m trên)
AB = DH (c/m trên)
\(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{DHO}\) (c/m trên)
=> \(\Delta\)ABO = \(\Delta\)DHO (g.c.g)
=> BO =NHO (2 cạnh t/ư)
Do đó O là tđ của BH.
Sao làm thiếu câu d mà vẫn dc tích nhỉ :|
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M thuộc tam giác ABC: \(\frac{MB}{1}\)=\(\frac{MA}{2}\)=\(\frac{MC}{3}\)
Tính góc AMB
Sửa lại đề tam giác ABC vuông cân tại B
Đặt: \(\dfrac{MA}{1}=\dfrac{MB}{2}=\dfrac{MC}{3}\) =a(a∈N*)
⇒MA=a;MB=2a;MC=3a
Vẽ MBH vuông cân tại B (H và A nằm cùng phía đối với BM)
⇒BK=BM=2a
Xét △ABH và △CBM có:
AB=BC(△ABC vuông cân tại B)
MBC=ABH(cùng phụ với ABM)
BM=BH
⇒△ABH = △CBM (c.g.c)
Suy ra CM=HA=3a
Xét △MBH vuông tại B có:
\(MH^2\)=\(MB^2\)+\(BH^2\)=\(\left(2a\right)^2\)+\(\left(2a\right)^2\)=\(8a^2\)
Xét △AMH có:\(AM^2\)+\(MH^2\)=\(a^2\)+\(8a^2\)=\(9a^2\)=\(AH^2\)
Theo định lý Pytago đảo suy ra △KMA vuông tại M
Suy ra AMK=90'
⇒AMB=AMH+HMB=90'+45'=135'
Cho tam giác ABC nhọn, AH vuông góc với BC. Gọi M là trung điểm BC. Biết AH, AM chia góc đỉnh thành 3 góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm M , tren canh AC lấy điểm N .sao cho AM=AN . Chứng minh MN song song với BC
Giải:
Vì \(AM=AN\) nên \(\Delta AMN\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\)
Mà \(\widehat{M_1}+\widehat{N_1}+\widehat{A}=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{N_1}=180^o-\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\widehat{N_1}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (1)
Vì t/g ABC cân tại A nên \(\widehat{B}=\widehat{C}\)
Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{C}=180^o-\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\widehat{C}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{N_1}=\widehat{C}\)
Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị nên MN // BC ( đpcm )
Vậy...
Vì \(\Delta\)ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)
Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:
\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180o
=> 2\(\widehat{ABC}\) = 180o - \(\widehat{BAC}\)
=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)
Ta có: AM = AN => \(\Delta\)AMN cân tại A
=> \(\widehat{AMN}\) = \(\widehat{ANM}\)
Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:
\(\widehat{AMN}\) + \(\widehat{ANM}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180o
=> 2\(\widehat{AMN}\) = 180o - \(\widehat{BAC}\)
=> \(\widehat{AMN}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{AMN}\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.
Lên lớp 8 chỉ cần 3,4 dòng :
Ta có : \(AM/AB=AN/AC\)=> MN//BC ( ĐL Talét đảo)
Vậy ...
Cho tam giác ABC. Gọi D,E thứ tự là trung điểm của AB,AD. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh
a, DF song song BD
b, DE= 1/2 BC
Ta có hình vẽ:
a/ Xét tam giác ADE và tam giác EFC có:
DE = EF (GT)
góc AED = góc FEC (đối đỉnh)
AE = EC (GT)
=> tam giác ADE = tam giác EFC (c.g.c)
=> AD = CF (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AD = DB (GT)
AD = CF (đã chứng minh trên)
=> DB = CF (1)
Ta có: tam giác ADE = tam giác EFC
=> góc DAE = góc ECF (2 góc tương ứng)
MÀ 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> AD // CF
Vì A,D,B thẳng hàng => DB // CF
=> góc BDC = góc DCF (so le trong) (2)
Ta có: DC: cạnh chung (3)
Từ (1),(2),(3) =>tam giác BDC = tam giác DCF
=> góc FDC = góc DCB (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> DF // BC (đpcm)
b/ Ta có: tam giác BDC = tam giác DCF
=> DF = BC (2 cạnh tương ứng) (1)
Mà theo giả thuyết EF = ED tức DE = EF = \(\frac{1}{2}\)DF (2)
Từ (1),(2) => DE = \(\frac{1}{2}\)BC
a) đề sai nhé bn, sửa BD thành BC
Xét t/g AED và t/g CEF có:
AE = EC (gt)
AED = CEF ( đối đỉnh)
ED = EF (gt)
Do đó, t/g AED = t/g CEF (c.g.c)
=> AD = CF (2 cạnh tương ứng)
ADE = CFE (2 góc tương ứng)
Mà ADE và CFE là 2 góc so le trong nên EC // AD hay EC // AB
Nối đoạn CD
Xét t/g BDC và t/g FCD có:
BD = FC ( cùng = AD)
BDC = FCD (so le trong)
CD là cạnh chung
Do đó, t/g BDC = t/g FCD (c.g.c)
=> BCD = FDC (2 góc tương ứng)
Mà BCD và FDC là 2 góc so le trong nên DF // BC (đpcm)
b) t/g BDC = t/g FCD (câu a)
=> BC = FD (2 cạnh tương ứng)
Mà DE = EF = 1/2 BC suy ra DE = 1/2 BC (đpcm)
Cho tam giác ABC có AB = AC. M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD.
a) Chứng minh AB = DC.
b) Chứng minh AB // DC.
c) Chứng minh CB là tia phân giác của góc ACD.
Ta có hình vẽ:
a/ Xét tam giác AMB và tam giác CMD có:
BM = MC (GT)
góc AMB = góc CMD (đối đỉnh)
AM = MD (GT)
=> tam giác AMB = tam giác CMD (c.g.c)
=> AB = DC (2 cạnh tương ứng)
b/ Ta có: tam giác AMB = tam giác CMD (câu a)
=> góc BAM = góc MDC (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> AB // DC (đpcm)
c/ Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC (GT)
BM = MC (GT)
AM: chung
=> tam giác ABM = tam giác ACM (c.c.c)
=> góc AMB = góc AMC (2 góc tương ứng) (*)
Mà góc AMB = góc CMD (đối đỉnh) (**)
Từ (*),(**) = >góc AMC = góc CMD (1)
Ta có: AM = MD (GT) (2)
CM: cạnh chung (3)
Từ (1),(2),(3) => tam giác AMC = tam giác DMC
=> góc ACM = góc DCM (2 góc tương ứng)
=> CM là phân giác góc ACD
hay CB là phân giác góc ACD
a) Xét ΔABM và ΔDCM có:
AM=DM(gt)
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\left(đđ\right)\)
BM=CM(gt)
=> ΔABM=ΔDCM(c.g.c)
=> AB=DC
b) VÌ: ΔABM=ΔDCM(cmt)
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{C_2}\) .Mà hai góc này ở vị trí sole trong
=> AB//DC
c)Vì: ΔABC có AB=AC(gt)
=> ΔABC cân tại A
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{C_1}\)
Mà: \(\widehat{ABM}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
=> CB là tia phân giác của góc ACD