Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết khoảng cách giữa AA' và BC là \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết khoảng cách giữa AA' và BC là \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A, B thuộc đường thẳng \(\Delta:4x+3y-12=0\) và điểm K(6;6) là tâm đường tròn bằng tiếp góc 0. Gọi C là điểm nằm trên \(\Delta\) sao cho AC=AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A. Biết điểm C có hoành độ bằng \(\frac{24}{5}\). Tìm tọa độ các đỉnh A, B
Trên \(\Delta\) lấy điểm D sao cho à D, A nằm khác phía nhau so với B. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng KA và OC; Gọi F là giao điểm của các đường thẳng KB và OD
Vì K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O của tam giác OAB nên KE là phân giác của góc OAC. Mà OAC là tam giác cân tại A ( do OA = AC, theo gt) nên suy ra KE cũng là đường trung trục của OC. Do đó, E là trung điểm của OC và KC=KO
Xét tương tự đối với KF, ta cũng có F là trung điểm của OD và KD=KO
Suy ra tam giác CKD cân tại K. Do đó, hạ KH vuông góc với \(\Delta\) , ta có H là trung điểm của CD. Như vậy :
+ A là giao của \(\Delta\) và đường trung trực \(d_1\) của đoạn OC (1)
+ B là giao của \(\Delta\) và đường trung trực \(d_2\) của đoạn OD, với D là điểm đối xứng của C qua H là hình chiếu vuông góc của K trên \(\Delta\) (2)
Vì \(C\in\Delta\) và có hoành độ \(x_0=\frac{24}{5}\) nên gọi \(y_0\) là tung độ của C, ta có :
\(2.\frac{24}{5}+3y_0-12=0\) suy ra \(y_0=-\frac{12}{5}\)
Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là \(\left(\frac{12}{5};-\frac{6}{5}\right)\) và đường thẳng OC có phương trình \(x+2y=0\)
Suy ra phương trình của \(d_1\) là \(2x-y-6=0\)
Do đó, theo (1), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\2x-y-6=0\end{cases}\)
Giải hệ ta có \(A=\left(3;0\right)\)
Để tìm tọa độ đỉnh B ta làm như sau :
Gọi d là đường thẳng đi qua K(6;6) và vuông góc với \(\Delta\).
Ta có phương trình của d là : \(3x-4y+6=0\). Từ đây, do H là giao điểm của \(\Delta\). và d nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\3x-4y+6=0\end{cases}\)
Giải hệ trên, ta được \(H=\left(\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right)\) suy ta \(D=\left(-\frac{12}{5};\frac{26}{5}\right)\)
Do đó, trung điểm F của OD có tọa độ là \(\left(-\frac{6}{5};\frac{18}{5}\right)\) và đường thẳng OD có phương trình \(3x+y=0\)
Suy ra phương trình của \(d_2\) là \(x-3y+12=0\)
Do đó, theo (2), tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\x-3y+12=0\end{cases}\)
Giải hệ trên ta được B=(0;4)
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Tìm tọa độ đỉnh B, điểm M biết N(0;-2), đường thẳng AM có phương trình x+2y-2=0 và cạnh hình vuông bằng 4
Gọi \(I=AM\cap BN\), \(\Delta BIM\) đồng dạng \(\Delta ABM\)
suy ra \(AM\perp BN\) nên \(BN:-2x-y+c=0\)
\(N\left(0;-2\right)\Rightarrow c=-2\Rightarrow BN:2x-y-2=0\)
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+2y-2=0\\2x-y-2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{6}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{cases}\) \(\Rightarrow I\left(\frac{6}{5};\frac{2}{5}\right)\)
Từ \(\Delta ABM\) vuông : \(BI=\frac{AB.BM}{\sqrt{AB^2+BM^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\)
Tọa độ điểm \(B\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(\begin{cases}B\in BN\\BI=\frac{4}{\sqrt{5}}\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}2x-y-2=0\\\left(\frac{6}{5}-x\right)^2+\left(\frac{2}{5}-y\right)^2=\frac{16}{5}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{-6}{5}\end{cases}\) Suy ra \(B\left(2;2\right)\) Loại \(\left(\frac{2}{5};-\frac{6}{5}\right)\)
Tọa đọ M(x;y) thỏa mãn \(\begin{cases}M\in AM\\IM=\sqrt{BM^2-BI^2}\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x+2y-2=0\\\left(x-\frac{6}{5}\right)^2+\left(y-\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{5}\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{4}{5}\end{cases}\) suy ra \(M_1\left(2;0\right);M_2\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)\)
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d :
\(\begin{cases}x=-3+2t\\y=1-t,t\in R\\z=-1+4t\end{cases}\)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Do \(\Delta\) đi qua A và vuông góc với d nên \(\Delta\) phải nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
Mặt phẳng (P) nhận vecto \(\overrightarrow{u}=\left(2;-1;4\right)\) của d làm vecto pháp tuyến, đi qua A(-4;-2;4) có phương trình : \(2x-y+4z-10=0\)
Gọi M là giao điểm của d và (P) thì M(-3+2t;1-t;-1+4t) thuộc d và M thuộc \(\Delta\)
Ta cũng có : \(M\in\left(P\right)\Leftrightarrow2\left(-3+2t\right)-\left(1-t\right)+4\left(-1+4t\right)-10=0\) \(\Leftrightarrow21t-21=0\Leftrightarrow t=1\)Vậy \(M\left(-1;0;3\right)\)Khi đó \(\overrightarrow{MA}=\left(3;2;-1\right)\), đường thẳng \(\Delta\)đi qua A và M có phương trình :\(\frac{x+4}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{-1}\)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(2;0;0) và B(1;1;-1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm 0, tiếp xúc với (P)
Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(M=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB nên (P) đi qua M và \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-1\right)\) là một vecto pháp tuyến của (P)
Suy ra, phương trình của (P) là : \(\left(-1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)+\left(-1\right)\left(z+\frac{1}{2}\right)=0\)
hay : \(2x-2y+2z-1=0\)
Ta có : \(d\left(O,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Do đó phương trình mặt cầu tâm O , tiếp xúc với (P) là \(x^2+y^2+z^2=\frac{1}{12}\)
hay : \(12x^2+12y^2+12z^2-1=0\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,qua 2 điểm M(1;-1;1) và N(0;-1;0) lập phương trình mặt phẳng \(\alpha\) cắt mặt cầu \(\left(S\right)\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) một thiết diện đường tròn mà diện tích hình tròn sinh bởi đường tròn có diện tích \(S=\pi\)
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)
Mặt phẳng \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)
Mặt khác, \(\alpha\) qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)
Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)
Do đó có 2 mặt phẳng \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA\perp\left(ABCD\right)\) và \(SA=a\). Qua A dựng mặt phẳng \(\alpha\) vuông góc với SC sao cho \(\alpha\) cắt SC, SB, SD lần lượt tại G, M, N. Tính theo a thể tích khối nón (H), biết rằng đường tròn đáy của (H) ngoại tiếp tứ giác AMGN và đỉnh O của (H) nằm trên đáy ABCD của hình chóp S.ABCD
Ta có \(\begin{cases}BC\perp SA\\BC\perp AB\end{cases}\)\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)\(\Rightarrow BC\perp AM\) (vì \(AM\subset\left(SAB\right)\left(1\right)\)
Mặt khác \(SC\perp\alpha\Rightarrow SA\perp AM\) (vì \(AM\subset\alpha\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM\perp MG\) (vì \(MG\subset\left(SBC\right)\))
\(\Rightarrow\Delta AMG\) vuông tại M, tương tự ta cũng có tam giác ANG vuông tại N \(\Rightarrow\) tâm H đường tròn đáy của (H) là trung điểm AG, có bán kính \(R=\frac{AG}{2}\)
Xét tam giác vuông SAC tại A có \(AG=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\Rightarrow R=\frac{\sqrt{6}}{6}a\)
Vì OH là đường cao (H)\(\Rightarrow OH\perp\alpha\Rightarrow OH\)//\(SC\Rightarrow O\) là giao điểm hai đường chéo AC, BD
\(\Rightarrow OH=\frac{1}{2}CG\).
Xét tam giác vuoongSAC có AG là đường cao, nên \(CG=\frac{AC^2}{SC}=\frac{2}{\sqrt{3}}a\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Vậy thể tích hình nón là \(V_{\left(H\right)}=\frac{1}{3}\pi.R^2.OH=\frac{\sqrt{3}}{54}\pi a^3\)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy tính diện tích tam giác ABC biết rằng hai điểm H(5;5) và I(5;4) lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và x+y-8=0 là phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
Kéo dài đường cao AH lần lượt cắt BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điển E và K, ta dễ dàng chứng minh được E là trung điểm HK
Đường cao \(AH\perp BC\) nên có phương trình \(x-y=0\), E là giao điểm của BC và AH \(\Rightarrow E\left(4;4\right)\) và H là trung điểm \(HK\Rightarrow K\left(3;3\right)\), suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R=IK=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\) phương trình đường tròn là \(\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=5,\left(C\right)\)
Vậy hai điểm B, C là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng BC và đường tròn (C) \(\Rightarrow B\left(3;5\right);C\left(6;2\right)\) và đỉnh A là nghiệm hệ của đường cao AH và đường tròn (C) \(\Rightarrow A\left(6;6\right)\)
Diện tích tam giác ABC là :
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}d\left(A,BC\right).BC=\frac{1}{2}\frac{\left|6+6-8\right|}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=6\)
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;2;-1) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+2y-2z-1=0\), viết phương trình mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) song song với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) sao cho khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) bằng khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \(\left(\beta\right)\)
\(d\left(A,\left(\alpha\right)\right)=\frac{4}{3}\)
\(\left(\beta\right)\)//\(\left(\alpha\right)\) nên phương trình \(\left(\beta\right)\) có dạng : \(x+2y-2z+d=0,d\ne-1\)
\(d\left(A,\left(\alpha\right)\right)=d\left(A,\left(\beta\right)\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{\left|5+d\right|}{3}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow\begin{cases}d=-1\\d-9\end{cases}\)\(\Leftrightarrow d=-9\left(d=-1loai\right)\)\(\Rightarrow\left(\beta\right):x+2y-2z-9=0\)
Trong (Oxy). Cho tam giac ABC cân tại C ngoại tiếp đương tròn tâm C.Gọi M; N; P lần lượt là giao điểm của đường tròn với AB ;BC ;CA.Đường thẳng NP giao với phân giác trong góc B tại K biết N (8/5;6/5). Trung điểm MK là E(-6/5;-2/5).AB đi qua F(5;-2) xB<2. Tìm tọa độ A;B;C