Bài 7: Hình bình hành

a: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC và MN=1/2BC

=>MN//BPvà MN=BP

=>MNPB là hình bình hành

b: Xét tứ giác AHCK có

N là trung điểm của CA và HK

nên AHCK là hình bình hành

mà góc AHC=90 độ

nên AHCK là hình chữ nhật

Xét ΔBAC có BM/BA=BP/BC

nên MP//AC và MP=1/2AC

mà HN=1/2AC

nên HN=MP

Xét tứ giác HMNP có MN//HP và HN=MP

nên HMNP là hình bình hành

c: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên MH=MA

mà NA=NH

nên MN là trung trực của AH(ĐPCM)

a: Xét tứ giác BEDF có

DE//BF

DE=BF

Do đó: BEDF là hình bình hành

Xét ΔAQD có PE//QD

nên AE/AD=AP/AQ=1/2

=>P là trung điểm của AQ

Xét ΔBPC có QF//BP

nên CF/CB=CQ/CP=1/2

=>Q là trung điểm của CP

=>AP=PQ=CQ

b: Xét ΔPBC có PR/PB=PQ/PC

nên RQ//BC và QR=1/2BC

=>QR//AE và QR=AE

=>ARQE là hình bình hành

Bài 1

(Bạn tự vẽ hình nhé)

a) Tứ giác ABCD là HBH (gt)

=> AD = BC và AD // BC (t/c)

BD giao AC tại tđ mỗi đường (t/c) => O là tđ của AC (AC giao BD tại O)

F là tđ của AD, E là tđ BC (gt), AD = BC (cmt)

=> AF=BE

AD//BC mà E thuộc BC, F thuộc AD (gt)

=> AF//AE

Xét tg AECF có: AF=BE, AF//AE (cmt)

=> Tg AECF là HBH (t/c)

b) Tg AECF là HBH (cmt)

=> AC giao ÈF tại tđ mỗi đường (t/c); O là tđ của AC (cmt)

=> O là tđ FE => O,E,F thẳng hàng

Bài 2

(Bạn tự vẽ hình nhé)

a) TG ABCD là HBH (gt)

=> Góc DAB = BCD; AB//CD và AB = CD (t/c)

AQ là tia p/g góc DAB (gt) => góc BAQ = 1/2 BAD

CP là tia p/g góc BCD (gt) => Góc PCD = 1/2 BCD

mà Góc DAB = BCD (cmt)

từ 3 điều trền => Góc BAD = DCB (1)

AB//CD (cmt) => Góc BAD = AQD ( 2 góc SLT ) (2)

Từ 1 và 2 => Góc AQD = DCB mà 2 góc này đv => DC // AQ (t/c)

P thuộc AB, Q thuộc CD; AB // CD => AP // CQ

Xét tg ADCQ có:

DC // AQ (cmt)

AP // CQ (cmt)

=> Tg APCQ là HBH (t/c)

b) Tg APCQ là HBH (cmt)

=> AP = CQ (t/c), AB = CD (cmt)

=> AB - AP = CD - CQ

=> PB = DQ

a, Vì AH là đường cao của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ ΔAHB vuông tại H (1)

Vì M là trung điểm của AB

⇒ HM là đường trung tuyến của ΔAHB (2)

Từ(1), (2) ⇒ \(HM=\dfrac{1}{2}AB\) (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy) (3)

Vì M là trung điểm của AB

⇒ \(MA=MB=\dfrac{1}{2}AB\) (4)

Từ (3), (4) ⇒ HM = MB

Vì HM = MB

⇒ ΔMBH cân tại M

⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{H_1}\)(5)

Vì ΔABC cân tại A

⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{ACB}\)(6)

Từ (5), (6) ⇒ \(\widehat{H_1}=\widehat{ACB}\), Mà 2 góc ở vị trí đồng vị ⇒ MH // AC

Tứ giác AMHC có MH // AC

⇒ Tứ giác AMHC là hình thang (đáy MH, AC) (đpcm)

b, Xét tứ giác AKBC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{M là trung điểm của AB}\\\text{M là trung điểm của CK}\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác AKBC là hình bình hành (đpcm)

Vì tứ giác AKBC là hình bình hành

⇒ AK = BH (7)

Vì ΔABC cân tại A có AH là đường cao

⇒ AH là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ BH = HC (8)

Từ (7), (8) ⇒ AK = HC

Vì tứ giác AKBC là hình bình hành

⇒ AK // BH

⇒ AK // HC

Xét tứ giác AKHC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{ AK = HC}\\\text{AK // HC}\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác AKHC là hình bình hành (đpcm)

c, Vì tứ giác AKHC là hình bình hành có O là trung điểm của AH

⇒ O là trung điểm của CK (Trong hình bình hành, 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ K, O, C thẳng hàng (đpcm)

Chúc bạn học tốt MÔN TOÁN!!

a: Xét tứ giác PHQK có

M là trung điểm của PQ và HK

nên PHQK là hình bình hành

b: Ta có: PHQK là hình bình hành

nên PK//QH

=>PK vuông góc với PN

=>ΔPNK vuông tại P

c: Xét tứ giác NPKQ có góc NPK+góc NQK=180 độ

nên NPKQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính NK

=>IN=IK=IP=IQ

+ Tứ giác ABCD là hbh

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AB//CD\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=CF\\AE//CF\end{matrix}\right.\)

=> Tứ giác AECF là hbh

=> EF và AC đi qua trung điểm mỗi đg

=> O là trung điểm của AC

+ Tứ giác ABCD là hbh

=> AC và BD đi qua trung điểm của mỗi đg

=> BD đi qua O => B,O,D thẳng hàng

Vãi cả cái hình bình hành and

Kẻ DM, ON // BC

Có DM // BC

⇒ ˆADM=B^( 2góc ĐV)

⇒ ˆAMD=C^( 2 góc ĐV)

Có ΔABCΔABC cân tại A

ˆB=ˆC(2gócđáy)

⇒ADM^=AMD^

⇒ΔADM⇒ΔADM cân tại A

⇒AD=AM( 2 cạnh bên )

Có AD = CE (gt)

Xét ΔDMEΔDME có

O là trung điểm DE ( gt)

ON // DM ( cùng // BC)

⇒⇒ N là trung điểm ME ( đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác và // với cạnh thứ2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)

⇒MN=NE⇒MN=NE

Có {AM=CE(cmt),MN=NE(cmt)

⇒AM+MN=CE+EN

⇒AN=CN

⇒ N là trung điểm AC

Xét ΔAKCcóΔAKCcó

N là trung điểm AC

ON // BC hay ON // KC

⇒ I là trung điểm AK ( đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung diểm cạnh thứ 3)

Xét tứ giác ADKE có

O là trung điểm DE (gt)

O là trung điểm AK ( cmt)

DE, AK là 2 đường chéo

⇒ ADKE là hình bình hành ( là tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đo: AMCN là hình bình hành

Xét ΔBAE có

M là trung điểm của bA

MF//AE
Do đó: F là trung điểm của BE

Xét ΔDFC có

N là trung điểm của DC

NE//FC

Do đó: E là trung điểm của DF

=>DE=EF=FB

b: Xét ΔEPF và ΔEND có

góc EFP=góc EDN

EF=ED

góc PEF=góc NED

Do đó: ΔEPF=ΔEND

=>EP=EN

Xét tứ giác DPFN có

E là trung điểm chung của DF và PN

nên DPFN là hình bình hành