Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

a. Để pt có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta>0\) <=> (m+1)²-1(4m-2)>0

m²+2m+1 -4m+2>0

m²-2m +3 >0

a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-2\right)=m^2+2m+1-4m+2\)

\(\Delta'=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2\)

ta có : \(\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi \(x\) \(\Rightarrow\left(m-1\right)^2+2\ge2>0\) với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\) với mọi \(m\) \(\Leftrightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{2\left(m+1\right)}{1}=2m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4m-2}{1}=4m-2\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)=4m-2-2\left(2m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-2x_1-2x_2=4m-2-4m-4=-6\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-2x_1-2x_2+6=0\)

vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m là \(x_1x_2-2x_1-2x_2+6=0\)

c) ta có : phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(tmđk\right)\\4m-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow4m< 2\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{4}\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

vậy \(x< \dfrac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

d) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m-2\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1^2+x_2^2-2x_1^2x_2-2x_1x_2^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-2\left(4m-2\right)-2\left(4m-2\right)\left(2m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-8m+4-2\left(8m^2+8m-4m-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-8m+4-16m^2-16m+8m+8=0\)

\(\Leftrightarrow-12m^2-8m+16=0\Leftrightarrow-3m^2-2m+4=0\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-3\right)\left(4\right)=1+12=13>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{-3}\) ; \(m_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{-3}\)

vậy \(m=\dfrac{1+\sqrt{13}}{-3};m=\dfrac{1-\sqrt{13}}{-3}\)

\(x^4-2x^2-3m+5=0\left(1\right)\)

a) Thay \(m=7\) vào pt (1), ta được:

\(x^4-2x^2-3.7+5=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^4-2x^2-21+5=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^4-2x^2-16=0\)

Đặt \(x^2=t\) , ĐK: \(t\ge0\) , ta được:

\(t^2-2t-16=0\)

(\(a=1\) ; \(b=-2\) ; \(c=-16\) )

Ta có: \(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.1.\left(-16\right)=68>0\)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\)

\(\Rightarrow\) \(t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+2\sqrt{17}}{2.1}=1+\sqrt{17}\) (TMĐK)

\(\Rightarrow\) \(t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-2\sqrt{17}}{2.1}=1-\sqrt{17}\) (loại vì \(1-\sqrt{17}< 0\), với mọi t )

Với \(t=t_1=1+\sqrt{17}\) , ta có: \(x^2=1+\sqrt{17}\) \(\Rightarrow\) \(x=\pm\sqrt{1+\sqrt{17}}\) \(\Rightarrow\) \(x_1=\sqrt{1+\sqrt{17}}\) , \(x_2=-\sqrt{1+\sqrt{17}}\)

b) Cho VP pt (1) \(=0\) , tìm được m

c) Như câu a) (chỉ cần đổi dấu của nghiệm \(t_2\) thôi)

NOTE: Tức là từ phần giải ra nghiệm \(t_2\) rồi giải tiếp

---- END----

pt có 2 nghiệm x₁,x₂ \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-10m+21\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge7\\m\le3\end{matrix}\right.\)

Vì pt có 2 nghiệm x₁,x₂ nên theo hệ thức Vi-et thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\) (I)

Vì \(4x_1+3x_2=1\Rightarrow x_1=\dfrac{1-3x_2}{4}\) thay vào (I) ta được

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_2+1}{4}=1-m\\\dfrac{\left(1-3x_2\right)x_2}{4}=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_2=6-8m\left(1\right)\\x_2-3x_2^2=8m-20\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1) và (2) ta được

\(3x_2-3x_2^2=-14\Leftrightarrow-3x_2^2+3x_2+14=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{3+\sqrt{177}}{6}\\x_2=\dfrac{3-\sqrt{177}}{6}\end{matrix}\right.\)

Từ đó dễ dàng tìm được m

p/s: mk làm vội quá bn kiểm tra giúp mk xem có sai sót j ko nhé

Câu hỏi của Đinh thị hồng xuyến - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:\(2x^2-2ax-1=0\)

Hai đths cắt nhau tại hai điểm $M,N$ thì điều kiện đầu tiên là:

\(\Delta'=a^2+2>0\) (luôn đúng)

Khi đó, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của PT thì áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Hai điểm $M,N$ thỏa mãn:\(M(x_1,2ax_1+1);N(x_2,2ax_2+1)\)

Ta có \(MN^2=(x_1-x_2)^2+(2ax_1+1-2ax_2-1)^2=15\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(1+4a^2)=15\)

Mà \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2+2\)

\(\Rightarrow (a^2+2)(4a^2+1)=15\)

Giải nghiệm ta thu được \(a=1\) thỏa mãn \(a\in\mathbb{N}\)

Vậy $a=1$

Lời giải:

Điều kiện: \(\Delta'=m^2-4m+7>0\) (luôn đúng)

Áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của PT trên thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2\)

\(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2\)

\(=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[4(m-1)^2-2(2m-6)]^2}{(2m-6)^2}-2=\frac{16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)}{(2m-6)^2}+2\)

Để \(A\in\mathbb{Z}\Rightarrow 16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)\vdots (2m-6)^2\)

\(\Leftrightarrow 4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots (m-3)^2\)

Xét điều kiện yếu hơn, \(\) \(4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots m-3\Leftrightarrow 4(m-1)^4\vdots m-3\)

\(\Leftrightarrow 4[(m-1)^4-2^4]+2^6\vdots m-3\)

Vì \((m-1)^4-2^4\vdots m-3\Rightarrow 2^6\vdots m-3\). Mà \(m\in\mathbb{Z}^+\Rightarrow m-3\in \left \{\pm 1,\pm 2,4,8,16,32,64\right\}\)

Thử lại ta thu được \(m\in \left \{1,2,4, 5,7,11\right\}\)

để pt đã cho có 2 nghiệm x1 x2 thì trước tiên pt phải là pt bậc 2 . tức là m#0 .

ta có :\(\Delta\)' =(m+2)² -m(m+4) =m²+4m+4 - m²-4m =4 > 0 nên pt luôn có 2 nghiệm x1 x2 phân biệt là :

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+2+\sqrt{4}}{m}\\x_2=\dfrac{m+2-\sqrt{4}}{m}\end{matrix}\right.\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+4}{m}\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

mà 8x₁² = x₂³ => 8( \(\dfrac{m+4}{m}\))² = 1 => 8 (m+4)²=m²

=> 8m²+64m+128 =m² => 7m²+64m+128=0 . Cách làm là như vậy.Đến đây mk ko biết có sai chỗ nào ko mà ra số lẽ lắm bạn làm lại coi sao hỳ hỳ.

\(\Delta\)' = (m+1)²-2m+5 = m² +2m +1 - 2m +5 =m² +6 >0 nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm x₁,x₂ phân biệt với mọi m .

Ta có : (x₁² -2mx₁+2m-1)(x₂² -2mx₂ +2m+1)<0 (*)

Vì x₁,x₂ là nghiệm của phương trình 1 nên ta có :

x₁² -2mx₁+2x₁ +2m -5 = 0 => x₁² -2mx₁+2m-1 +2x₁ -4 =0

=>x₁² -2mx₁+2m-1 = 4-2x₁ Tương tự ta có : x₂² -2mx₂+2m-1 = 4-2x₂

khi đó (*) trở thành : (4-2x₁)(4-2x₂) <0 =>16-8x₂-8x₁+4x₁x₂ < 0

<=> 16-8(x₁+x₂)+4x₁x₂ <0

vì phương trình đầu luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m nên theo hệ thức viét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)thay vào bất pt trên ta đc :

16-8.2(m-1)+4(2m-5)<0 => 16-16m+16+8m-20<0

12-8m<0 => m>\(\dfrac{3}{2}\)

Vậy m>\(\dfrac{3}{2}\)thì có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn đề bài .

\(\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)=1\)

\(\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)=1\)

\(x^2+10x+20=t\Rightarrow t\ge-5\)

\(t^2-16=1\)

\(\left[{}\begin{matrix}t_1=\sqrt{17}\\t_2=-\sqrt{17}\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=-5-\sqrt{5+\sqrt{17}}\\x_2=-5+\sqrt{5+\sqrt{17}}\\x_3=-5-\sqrt{5-\sqrt{17}}\\x_4=-5+\sqrt{5-\sqrt{17}}\end{matrix}\right.\)

đề không cho cụ thể quan hệ \(x_{\left[i\right]}\Rightarrow\) rất nhiều nghiệm

tự tổng hợp

ví dụ thứ tự các nghiệm đugs như trên

\(A_{\left[1,2,3,4\right]}=x_1-x_2-x_3-x_4=2\left(\sqrt{5+\sqrt{17}}+5\right)\)