Cho phương trình ẩn x: \(x^2-2x+m=0\)
Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N= \(x_1^4+x_2^4-2x_1^3-2x_2^3+8m\)
Cho phương trình ẩn x: \(x^2-2x+m=0\)
Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N= \(x_1^4+x_2^4-2x_1^3-2x_2^3+8m\)
Lời giải:
Để pt có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì:
\(\Delta'=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)
Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(N=x_1^4+x_2^4-2(x_1^3+x_2^3)+8m\)
\(=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)
\(=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)
\(=(4-2m)^2-2m^2-2(8-6m)+8m\)
\(=2m^2+4m=2(m^2+2m+1)-2=(m+1)^2-2\geq -2\) với mọi $m< 1$
Do đó \(N_{\min}=-2\) khi \(m=-1\)
Cho phương trình \(x^2+\left(m-1\right)x-m^2-2=0\) (1) với m là tham số thực.
a) Chứng minh: phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) với mọi giá trị của m
b) Tìm m để biểu thức \(T=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3\) đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
a)
Vì \(\Delta=(m-1)^2+4(m^2+2)>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp đụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-(m^2+2)\end{matrix}\right.(*)\)
Vì \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow m^2+2>0\Rightarrow -(m^2+2)< 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2< 0\).
Do đó pt luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)
b)
Sử dụng hằng đẳng thức và $(*)$ để biến đổi:
\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3.\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_1}\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
Đặt \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=t\Rightarrow T=t^3-3t\)
Có: \(t=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\)
Vì \((1-m)^2\geq 0; -(m^2+3)< 0\Rightarrow t=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\leq 0-2=-2\)
Khi đó:
\(T=t^3-3t=t(t^2-4)+t=t(t-2)(t+2)+t\)
Vì \(t\leq -2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t(t-2)(t+2)\leq 0\\ t\leq -2\end{matrix}\right.\Rightarrow T\leq -2\)
Vậy \(T_{\max}=-2\). Dấu bằng xảy ra khi \(t=-2\Leftrightarrow \frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2=-2\Leftrightarrow m=1\)
Cho phương trình: x\(^2\)-2(m-1)x+m\(^2\)-3(với m là thang số)
a,Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x\(_1\),x\(_2\) thỏa mãn : x\(_1\)-x\(_2\)\(=\)2
b,Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x\(_1\),x\(_2\) thỏa mãn : x\(_1\)x\(_2\)-x\(_1\)-x\(_2\)\(=\)11
c,Trong trường hợp có 2 nghiệm x\(_1\),x\(_2\),hãy tìm 1 hệ thức liên kết giữa 2 nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m.
Mong mọi người giúp đỡ.Ai nhanh mà đúng mình tích nha (Làm được 1 ý cũng được).
Lời giải:
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3)>0\)
\(\Leftrightarrow 4-2m>0\Leftrightarrow m< 2\)
Khi đó áp dụng định lý Viete về pt bậc 2: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.(*)\)
a) \(x_1-x_2=2\Rightarrow (x_1-x_2)^2=4\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=4\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow 4(m-1)^2-4(m^2-3)=4\)
\(\Leftrightarrow 8m=12\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\) (thỏa mãn)
b) \(x_1x_2-x_1-x_2=11\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)=11\)
\(\Leftrightarrow m^2-3-2(m-1)=11\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m-12=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1+\sqrt{13}\\ m=1-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)
Vì \(m<2\Rightarrow m=1-\sqrt{13}\)
c)Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2=2m\\ x_1x_2+3=m^2\end{matrix}\right.\)
Suy ra \( (x_1+x_2+2)^2=4(x_1x_2+3)(=4m^2)\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+4+2x_1x_2+4(x_1+x_2)=4x_1x_2+12\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+4(x_1+x_2)-8=0\)
Đây chính là biểu thức (không phụ thuộc m) cần tìm.
Cho phương trình : \(x^2-2mx+2m-2=0\) (1)
Với \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình (1), tìm GTLN của biểu thức \(A=\dfrac{6\left(x_1+x_2\right)}{x^2_1+x^2_2+4\left(x_1+x_2\right)}\)
Ta có \(\Delta\)'= \(\left(-m\right)^2-2m+2=\left(m-1\right)^2+1>0\veebar m\)
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m-2\end{matrix}\right.\)
Thay giá trị của \(x_1+x_2\) và \(x_1.x_2\) vào biểu thức A ta được :
\(A=\dfrac{6.\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4\left(x_1+x_2\right)}=\dfrac{12m}{4m^2+4m+4}\)
\(A=\dfrac{3m}{m^2+m+1}\)
Cm: \(3m\le m^2+m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng ) (dấu = xảy ra khi x=1)
Do đó \(3m\le m^2+m+1\) khi đó ta được:
\(A=\dfrac{3m}{m+m+1}\le1\)
Vậy với GTLN của A = 1 khi và chỉ khi m=1