Hệ thức Vi-et và ứng dụng

a) Thay \(m=7\) vào phương trình, ta được:

\(x^2-2x+7=0\)

Xét \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.1.7=4-28=-24\)

=> Phương trình vô nghiệm \(\left(\Delta< 0\right)\)

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}=2\\x_1.x_2=\dfrac{m}{1}\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.1.m=4-4m\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow4-4m\ge0\\ \Leftrightarrow-4m\ge-4\\ \Leftrightarrow m\le1\)

Theo đề bài, ta có: 

\(x^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2xy=5\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=5\\ \Leftrightarrow2^2-2m=5\\ \Leftrightarrow4-2m=5\\ \Leftrightarrow2m=-1\\ \Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3m\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m+1\ge0\Rightarrow m\ge1\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+7\)

\(B=\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)+7\)

\(B=2m^2-2m+11\)

\(B=2m\left(m-1\right)+11\ge11\)

\(B_{min}=11\) khi \(m=1\)

ĐK: \(x\ge2\)

\(pt\Leftrightarrow x^2+mx=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(m-1\right)x+2=0\)

Phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=m^2-2m-7\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1-2\sqrt{2}\\m\ge1+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1.x_2=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow1-m=6\)

\(\Leftrightarrow m=-5\left(tm\right)\)

Chắc đề là \(A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2\) mới đúng

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-6\right)=\left(m-2\right)^2+3>0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\) với \(m\ne3\)

\(A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2-2\)

\(A=\left[\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right]^2-2=\left(\dfrac{4\left(m-1\right)^2}{2m-6}-2\right)^2-2\)

\(A=\left(2m-\dfrac{8}{m-3}\right)^2-2\)

\(A\) nguyên \(\Leftrightarrow\dfrac{8}{m-3}\) nguyên \(\Leftrightarrow m-3=Ư\left(8\right)\)

\(\Leftrightarrow m=...\)

Câu 1: \(x^2-mx+\left(m-2\right)^2=0\)

Ta có: \(\Delta=-3m^2+16m-16\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow\frac{4}{3}\le m\le4\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1\cdot x_2=m^2-4m+4\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(A=x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Rightarrow A=m+2m^2-8m+8=2m^2-7m+8\) \(=2\left(m^2-\frac{7}{2}m+4\right)=2\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac{7}{4}+\frac{49}{16}+\frac{15}{16}\right)\) \(=2\left(m-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{15}{8}\ge\frac{15}{8}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{7}{4}=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{7}{4}\left(TM\right)\)

Vậy \(Min_A=\frac{15}{8}\) khi \(m=\frac{7}{4}\)

Câu 2: \(mx^2+2\left(m-2\right)x+m-3=0\)

Ta có: \(\Delta'=4-m\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow m\le4\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{4-2m}{m}\\x_1\cdot x_2=\frac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\left(m\ne0\right)\)

Mặt khác: \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=3\) \(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=3\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=3\) \(\left(m\ne3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=0\)

\(\Rightarrow\frac{16-16m+4m^2}{m^2}-\frac{5m^2-15m}{m^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{16-m-m^2}{m}=0\) \(\Leftrightarrow16-m-m^2=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\left(TM\right)\)

Vậy \(m=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=36-2\left(6m-1\right)>0\\x_1+x_2=\frac{12}{4}>0\\x_1x_2=\frac{6m-1}{2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{19}{6}\\m>\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{6}< m< \frac{19}{6}\)

PT: \(x^2-2mx+m^2-m+1=0\)

Ta có: \(\Delta'=m-1\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\) \(\Leftrightarrow m\ge1\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=2m^2+2m-2\) \(=2\left(m^2+m-1\right)=2\left(m^2-2m+1+3m-2\right)\) \(=2\left(m-1\right)^2+6m-4\ge6m-4\ge2\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1\) (TM)

Vậy \(P_{Min}=2\) khi \(m=1\)

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-12>0\Leftrightarrow9m^2+6m-11>0\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+x_2=5\\x_1+x_2=3m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4-3m\\x_2=6m-3\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1x_2=3\Leftrightarrow\left(4-3m\right)\left(6m-3\right)=3\)

\(\Leftrightarrow6m^2-11m+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) kiểm tra thì đều thỏa mãn