Hệ thức Vi-et và ứng dụng - Hỏi đáp

Ta có : \(x^2-\left(4m-1\right)x+3m^2-2m=0\)

=> \(\Delta=\left(4m-1\right)^2-4\left(3m^2-2m\right)\)

=> \(\Delta=16m^2-8m+1-12m^2+8m\)

=> \(\Delta=4m^2+1\ge1>0\forall m\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m-1\\x_1x_2=3m^2-2m\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(x^2_1+x_2^2=7\)

=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=7\)

=> \(\left(4m-1\right)^2-2\left(3m^2-2m\right)=7\)

=> \(16m^2-8m+1-6m^2+4m-7=0\)

=> \(10m^2-4m-6=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

\(\Delta=\left(4m-1\right)^2-4\left(3m^2-2m\right)=16m^2-8m+1-12m^2+8m=4m^2+1>0\text{ nên chắc chắn có 2 nghiệm}\)

\(\text{Áp dụng định lý Viet ta được:}\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m-1\\x_1x_2=3m^2-2m\end{matrix}\right.\Rightarrow...x_1^2+x_2^2=16m^2-8m+1-6m^2+4m=10m^2-4m+1=7\Leftrightarrow10m^2-4m-6=0\Leftrightarrow10m^2-10m+6m-6=10m\left(m-1\right)+6\left(m-1\right)=\left(m-1\right)\left(10m+6\right)=0\Leftrightarrow m=1\text{ hoặc }m=-\frac{3}{5}\)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+5=\left(m-2\right)^2+2>0;\forall m\)

d luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ge\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\frac{5}{2}\)

Khi đó:

\(\left|\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right|=2\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-1\right)+2\sqrt{2m-5}=4\)

\(\Leftrightarrow2m-5+2\sqrt{2m-5}-1=0\)

Đặt \(\sqrt{2m-5}=a\ge0\Rightarrow a^2+2a-1=0\Rightarrow a=\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2m-5}=\sqrt{2}-1\Rightarrow m=4-\sqrt{2}\)

\(ac=-m^2-3< 0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Kết hợp Viet và đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\4x_1+3x_2=10\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1+3x_2=12\\4x_1+3x_2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\4x_1+3x_2=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=6\end{matrix}\right.\)

Cũng theo Viet: \(x_1x_2=-m^2-3\)

\(\Rightarrow-m^2-3=-12\Rightarrow m^2=9\Rightarrow m=\pm3\)

a) △' = b'² - ac = [-(m-1)]² - (-3-m) = m² - 2m +1 +3m + m = m² +2m +1=

(m+1)² ≥ 0 ∀ m

Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi giá trị của m.

b) Để pt có hai nghiệm trái dấu thì P<0 ⇔a*c <0 ⇔-3-m<0 ⇔m>-3

c) Để pt có hai nghiệm cùng âm thì \(\left\{{}\begin{matrix}S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\left(\Delta\ge0\forall m\right)\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)< 0\\-3-m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\-m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m< -3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -3\)

d) Áp dụng Vi-et, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-3-m\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có x₁² + x₂² ≥ 10⇔ (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ ≥ 10

⇔ [2(m-1)]² - 2(-3-m) ≥ 10 ⇔ 4m² - 8m + 4 + 6 +2m ≥ 10

⇔ 4m² - 6m + 10 - 10 ≥ 0 ⇔ 4m² - 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2m\ge0\\2m-3\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2m\le0\\2m-3\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m\ge\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\frac{3}{2}\\m\le0\end{matrix}\right.\)

e) Ta có\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-3-m\end{matrix}\right.\)( Vi-et)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\left(1\right)\\2x_1x_2=-6-2m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) cộng (2) ta được x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = 2m - 2 - 6 - 2m = -8

Vậy x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = -8 là hệ thức giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m

f) Ta có x₁+x₂ = 2(m-1) ⇒ x₁ = 2(m-1) - x₂

[ Câu f) mk chỉ hiểu rồi làm như thế thôi, có gì sai bạn thông cảm nha]

ta có : x₁ ; x₂ là độ dài 2 cạnh góc vuông \(\Leftrightarrow\) x₁ ; x₂ là 2 nghiệm dương

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}P>0\\S>0\\\Delta>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2>0\\x_1+x_2>0\\\left(-m\right)^2-4.1.\left(m^2-m-3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-m-3>0\\m>0\\-3m^2+4m+12>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\\m>0\\m< \dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\) < m < \(\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}\)

áp dụng định lí pitago ta có :

x₁² + x₂² = 4 \(\Leftrightarrow\) (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = 4 (1)

áp dụng hệ thức vi ét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{matrix}\right.\)

thay vào (1) \(\Leftrightarrow\) m² - 2.(m² - m - 3) = 4

\(\Leftrightarrow\) m² - 2m² + 2m + 6 = 4 \(\Leftrightarrow\) - m² + 2m + 2 = 0

\(\Delta\)' = 1² + 2 = 3 > 0 \(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

m₁= 1 + \(\sqrt{3}\) (tmđk) ; m₂ = 1 - \(\sqrt{3}\) (loại)

vậy m = 1 + \(\sqrt{3}\)

\(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\left(m^2+2m+2\right)=4m+1\ge0\Rightarrow m\ge-\frac{1}{4}\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=2x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1+x_2+x_1\)

\(\Leftrightarrow4m+1=2m+3+x_1\)

\(\Rightarrow x_1=2m-2\Rightarrow x_2=2m+3-x_1=5\)

Mà \(x_1x_2=m^2+2m+2\Rightarrow5\left(2m-2\right)=m^2+2m+2\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=2\end{matrix}\right.\)

\(x^3_1-x_2^3=\left(\left(x_1-x_2\right)\left(x^2_1+x_1x_2+x_2^2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)\right]^2-x_1x_2=......\right)\)

Ta có ac = 1 . (-1) = -1 < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left|x_1-x_2\right|\le2\sqrt{5}\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\le20\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+4\le20\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2\le4\)

Mà m nguyên nên (m - 2)² là một số chính phương

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\Leftrightarrow m\in\left\{2;3;6;1;0\right\}\)

Lời giải:

a) Ta thấy:

$\Delta'=m^2-(m^2-9)=9>0$ với mọi $m$ nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$

b) 

Ở phần $a$ ta đã chỉ ra pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$.  Áp dụng định lý Vi-et với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-9\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_2^2=18-x_1(x_2+x_1)\)

\(\Leftrightarrow x_2^2+x_1(x_2+x_1)=18\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+x_1x_2=18\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-x_1x_2=18\)

\(\Leftrightarrow (2m)^2-(m^2-9)=18\)

\(\Leftrightarrow 3m^2=27\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm 3\)

c) Theo hệ thức Viet đã chỉ ra ở phần b:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2)^2=4m^2\\ 4x_1x_2=4m^2-36\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=36\Leftrightarrow |x_1-x_2|=6\) (đây chính là hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Đặng Ngọc Du - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta'=4+m^2+5m>0\Leftrightarrow (m+1)(m+4)>0$

$\Leftrightarrow m>-1$ hoặc $m< -4(*)$

Áp dụng định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-4\\ x_1x_2=-(m^2+5m)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(|x_1-x_2|=4\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=16\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow (-4)^2+4(m^2+5m)=16\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m+4=4\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m=0\Leftrightarrow m(m+5)=0\Rightarrow m=0\) hoặc $m=-5$. Kết hợp với $(*)$ ta thấy 2 giá trị này đều thỏa mãn.

Vậy........

Bài 5:

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m-1)^2-m^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (m-1-m)(m-1+m)\geq 0$

$\Leftrightarrow 1-2m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}(*)$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(x_1-x_2)^2+6m=x_1-2x_2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2+6m=(x_1+x_2)-3x_2$

$\Leftrightarrow 4(m-1)^2-4m^2+6m=2(m-1)-3x_2$

$\Leftrightarrow 4m-6=3x_2$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{4}{3}m-2$

$x_1=2(m-1)-x_2=\frac{2}{3}m$

Suy ra:

$x_1x_2=m^2$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}m(\frac{4}{3}m-2)=m^2$

$\Leftrightarrow m(8m-12-9m)=0$

$\Leftrightarrow m(-m-12)=0$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-12$. Theo $(*)$ ta thấy 2 giá trị này đều thỏa mãn.

Bài 4:

Để pt có 2 nghiệm thì $\Delta'=4-2(2m^2-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2-1\leq 0\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=\frac{2m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$2x_1^2+4mx_2+2m^2-1\geq 0$

$\Leftrightarrow (2x_1^2-4mx_1+2m^2-1)+4mx_1+4mx_2\geq 0$

$\Leftrightarrow 0+4m(x_1+x_2)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4m. 2\geq 0$

$\Leftrightarrow m\geq 0$

Kết hợp với điều kiện $-1\leq m\leq 1$ suy ra $0\leq m\leq 1$ thì ycđb được thỏa mãn.

Bài 2:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta=9-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}$

Áp dụng định lý Viet với 2 nghiệm $x_1,x_2$: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=3\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2+2\sqrt{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=27\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2+2\sqrt{(x_1x_2)^2+(x_1^2+x_2^2)+1}=27\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2+2\sqrt{(x_1x_2)^2+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+1}=27\)

$\Leftrightarrow 9-2m+2+2\sqrt{m^2+9-2m+1}=27$

$\Leftrightarrow \sqrt{m^2-2m+10}=m+8$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -8\\ m^2-2m+10=(m+8)^2=m^2+16m+64\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-3\) (thỏa mãn)

Vậy........

Bài 1:

Ta thấy $\Delta'=m^2-(m^2-2)=2>0$ với mọi $m$ nên PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(|x_1^3-x_2^3|=10\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow |x_1-x_2||x_1^2+x_1x_2+x_2^2|=10\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}.|(x_1+x_2)^2-x_1x_2|=10\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{4m^2-4(m^2-2)}.|4m^2-(m^2-2)|=10\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow |3m^2+2|=5\Leftrightarrow 3m^2+2=5\Leftrightarrow m=\pm 1\) (thỏa mãn)

Vậy........