Hệ thức Vi-et và ứng dụng - Hỏi đáp

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{2}x^2=-x+m\Leftrightarrow x^2+2x-2m=0\)

\(\Delta'=1+2m\ge0\Rightarrow m\ge-\frac{1}{2}\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2+y_1y_2=5\Leftrightarrow x_1x_2+\frac{1}{4}\left(x_1x_2\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2+4x_1x_2-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1x_2=1\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2m=1\\-2m=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\frac{1}{2}\\m=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Khi đó, theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\frac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4=4\left(m-2-m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-m^2=-4\)

\(\Rightarrow m=\pm2\)

Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá, thanks bn nhìu :>>

\(\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\sqrt{\left(x+y\right)\left(2x+y+2y+x\right)}=\sqrt{3}\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{x+y}{\sqrt{3}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow S_{min}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) khi \(x=y\)

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-12>0\Leftrightarrow9m^2+6m-11>0\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+x_2=5\\x_1+x_2=3m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4-3m\\x_2=6m-3\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1x_2=3\Leftrightarrow\left(4-3m\right)\left(6m-3\right)=3\)

\(\Leftrightarrow6m^2-11m+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) kiểm tra thì đều thỏa mãn

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Viete suy ra với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(S=x_1^7+x_2^7=(x_1^3+x_2^3)(x_1^4+x_2^4)-x_1^3x_2^4-x_2^3x_1^4\)

\(=[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)][(x_1^2+x_2)^2-2x_1^2x_2^2]-x_1^3x_2^3(x_1+x_2)\)

\(=(a^3-3a)[((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2]-a\)

\(=(a^3-3a)[(a^2-2)^2-2]-a\)

\(=a^7-7a^5+14a^3-7a\)

Bạn xem lại đề bài

\(2m^2-2mx....\) có gì đó sai sai

Sửa đề: \(x^2-2\left(m-1\right)x+m-2=0\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+3>0\text{ đúng }\forall x\)

\(\Rightarrow\) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có:

\(x_1+x_2+\sqrt{x^2_1+x^2_2}=2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}=2\)

\(\Leftrightarrow2m-2+\sqrt{\left(2m-2\right)^2-2.\left(m-2\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2-10m+8}=4-2m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2m\ge0\\4m^2-10m+8=16-16m+4m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le2\\6m=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le2\\m=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(m^2-2m+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+10m-7\ge0\Leftrightarrow1\le m\le\frac{7}{3}\)

Khi đó pt có 2 nghiệm thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m^2-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-2m+2\right)\)

\(A=-m^2+6m-3\)

\(A=-m^2+6m-5+2=\left(m-1\right)\left(5-m\right)+2\ge2\) ; \(\forall m\in\left[1;\frac{7}{3}\right]\)

\(A_{min}=2\) khi \(m=1\)

\(A=-m^2+6m-\frac{77}{9}+\frac{50}{9}=\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(\frac{11}{3}-m\right)+\frac{50}{9}\le\frac{50}{9}\)

\(A_{max}=\frac{50}{9}\) khi \(m=\frac{7}{3}\)

a) ĐK:\(m^2-4m+4\ge0\left(LĐ\right)\)

Theo hệ thức Viet:\(x_1+x_2=m;x_1x_2=m-1\)

\(R=\frac{2m-2+3}{m^2-2m+2+2\left(1+m-1\right)}\)

\(=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow Rm^2+2R-2m-1=0\)

Để pt có ng₀:\(1-R\left(2R-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2R^2+R+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-1}{2}\le R\le1\)

\(R_{max}=1\)

b) Trừ đi rồi tìm m.