Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Phúc Tiến
Xem chi tiết

a: Xét tú giác MHBE có \(\widehat{MHB}+\widehat{MEB}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHBE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MHCF có \(\widehat{MHC}+\widehat{MFC}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHCF là tứ giác nội tiếp

b: Ta có: MHBE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HME}+\widehat{HBE}=180^0\)

=>\(\widehat{HME}+\widehat{ABC}=180^0\left(1\right)\)

Ta có: MHCF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HMF}+\widehat{HCF}=180^0\)

=>\(\widehat{HMF}+\widehat{ACB}=180^0\left(2\right)\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC và OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔACB có AB=AC

nên ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{HME}=\widehat{HMF}\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\widehat{MCF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CF và dây cung CM

Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MCF}\)

mà \(\widehat{MBC}=\widehat{MEH}\)(BHME là tứ giác nội tiếp)

và \(\widehat{MCF}=\widehat{MHF}\)(MHCF là tứ giác nội tiếp)

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{MHF}\)

Xét ΔMEH và ΔMHF có

\(\widehat{MEH}=\widehat{MHF}\)

\(\widehat{EMH}=\widehat{HMF}\)

Do đó: ΔMEH~ΔMHF

=>\(\dfrac{ME}{MH}=\dfrac{MH}{MF}\)

=>\(MH^2=ME\cdot MF\)

 

Bình luận (0)
Jin44
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
26 tháng 12 2023 lúc 19:39

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

b: Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH\(\perp\)AC tại H

=>OD\(\perp\)AC tại H

Xét ΔDAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OD=OA^2\)

=>\(4\cdot OH\cdot OD=4\cdot OA^2=\left(2\cdot OA\right)^2=BA^2\)

Bình luận (0)
Nguyễn thị thúy Quỳnh
26 tháng 12 2023 lúc 18:01

a) Để chứng minh tam giác \(ABC\) vuông, ta cần chứng minh rằng góc \(ACB\) là góc vuông.

 

Vì \(C\) là một điểm trên đường tròn \((O)\) có đường kính \(AB\), nên ta có \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(C\). Do đó, góc \(ACB\) là góc nội tiếp tương ứng với góc \(A\).

 

Vì \(AB\) là đường kính của đường tròn, nên góc \(A\) là góc vuông (\(90^\circ\)). Vì vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác \(ABC\) là tam giác vuông.

 

b) Để chứng minh \(40OH = OD = AB/2\), ta cần chứng minh rằng tam giác \(OHD\) là tam giác đều.

 

Vì \(H\) là trung điểm của \(AC\), nên ta có \(OH\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do tam giác \(ABC\) là tam giác vuông (\(AB\) là đường kính), nên đường trung bình \(OH\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\).

 

Vì vậy, ta có \(OH\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\). Vì \(OH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(OD\) cũng là đường cao của tam giác \(OHD\).

 

Vì \(OH\) và \(OD\) là hai đường cao của tam giác \(OHD\), nên tam giác \(OHD\) là tam giác đều. Do đó, ta có \(40OH = OD = AB/2\).

 

c) Để chứng minh \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\), ta cần chứng minh rằng góc \(MBO\) là góc vuông.

 

Vì \(OE\) là đường vuông góc với \(BD\) tại \(E\), nên \(OE\) là đường cao của tam giác \(OBD\). Vì \(OD\) là đường cao của tam giác \(OHD\) (tam giác đều), nên \(OE\) cũng là đường cao của tam giác \(OHD\).

 

Vì vậy, ta có \(OE\) vuông góc với \(HD\) tại \(D\). Vì \(HD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(D\), nên góc \(MBO\) là góc nội tiếp tương ứng với góc \(D\).

 

Vì \(OD = AB/2\) (theo phần b), nên góc \(D\) là góc vuông (\(90^\circ\)). Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

Bình luận (1)
Jin44
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
24 tháng 12 2023 lúc 10:29

Xét ΔFHA vuông tại F và ΔACB vuông tại A có

\(\widehat{FHA}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)

Do đó: ΔFHA đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{HA}{CB}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(EF\cdot BC=AH\cdot BC\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

\(\dfrac{AE\cdot AB}{EF\cdot BC}=\dfrac{AH^2}{AH\cdot BC}=\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Bình luận (0)
MY NU NGUYEN LE
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
9 tháng 12 2023 lúc 21:48

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

=>\(AC=\sqrt{64}=8\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH\cdot10=6^2=36\)

=>BH=36/10=3,6

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosB=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(cosB=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

Bình luận (0)
Phúc Tiến
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
2 tháng 12 2023 lúc 23:31

a: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: ΔOCE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)CE tại K

Xét tứ giác OAMK có \(\widehat{OAM}+\widehat{OKM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMK là tứ giác nội tiếp 
=>O,A,M,K cùng thuộc một đường tròn

c: Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của \(\widehat{AMB}\)

MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=30^0\cdot2=60^0\)

ΔOAM vuông tại A

=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM^2=OM^2-OA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(AM=R\sqrt{3}\)

Xét ΔAMB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

=>\(S_{MAB}=MA^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3R^2\cdot\sqrt{3}}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
18 tháng 11 2023 lúc 11:28

a: Xét (O) có

DB,DE là tiếp tuyến

Do đó: DB=DE

mà OB=OE

nên OD là đường trung trực của BE

=>OD\(\perp\)BE tại I và I là trung điểm của BE

b: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>BA\(\perp\)CA tại A

=>BA\(\perp\)CD tại A

Xét ΔDBC vuông tại B có BA là đường cao

nên \(DA\cdot DC=DB^2\left(1\right)\)

ΔDBO vuông tại B có BI là đường cao

nên \(DI\cdot DO=DB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DA\cdot DC=DI\cdot DO\)

 

Bình luận (1)
Phan Khải
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
13 tháng 11 2023 lúc 21:49

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>BE\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAFB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAFB vuông tại F

=>BF\(\perp\)AN

Xét ΔABM vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot MA=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABN vuông tại B có BF là đường cao

nên \(AF\cdot AN=AB^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AM=AF\cdot AN\)

 

Bình luận (0)
Hoàng Yến Linh
12 tháng 11 2023 lúc 0:40

Gọi chiều cao toa tháp là :BA 

      khoảng cách từ cậu bé đến tòa tháp là: AC

    Xét tam giác ABC có : góc BAC = 90 độ 

       => tan ABC = AB/AC

       => AB = tan ABC x AC

       => AB = tan 74 độ x 132

       => AB = sấp sỉ 480,33 ( m)

Chiều cao thục của tòa tháp là : 460,33 + 1,6 = 461,93 (m)

 

Bình luận (0)
Kim Tuyền
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
10 tháng 11 2023 lúc 13:20

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-4^2=20\)

=>\(AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{3}\)

nên \(\widehat{C}\simeq41^048'\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{B}=90^0-41^048'=48^012'\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot6=4\cdot2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)

=>\(AH=\dfrac{8\sqrt{5}}{6}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABM vuông tại A có AI là đường cao

nên \(BI\cdot BM=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BI\cdot BM=BH\cdot BC\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BD\cdot DA=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CE\cdot EA=HE^2\)

\(BD\cdot DA+CE\cdot EA\)

\(=HD^2+HE^2\)

\(=AH^2\)

Bình luận (0)
Văn Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
10 tháng 11 2023 lúc 13:07

loading...

Gọi BC là độ dài của thang, AC là chiều cao phù hợp.

Theo đề, ta có: BC=6m; \(\widehat{B}=30^0\); AB\(\perp\)AC tại A

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AC}{6}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>AC=3(m)

Bình luận (0)