Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Hỏi đáp

Hình vẽ:

Lời giải:

Kẻ đường cao $BH$ xuống $DC$

Dễ thấy $ABHD$ là hình chữ nhật nên $BH=AD, AB=DH$

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:

$BH^2=BD^2-DH^2=BC^2-CH^2$

$\Leftrightarrow 15^2-DH^2=13^2-(DC-DH)^2$

$\Leftrightarrow 15^2-DH^2=13^2-(14-DH)^2$

$\Leftrightarrow 252=28DH$

$\Rightarrow DH=9$

$\Rightarrow AB=DH=9$

$AD=BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$

b)

\(S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).AD}{2}=\frac{(9+14).12}{2}=138\) (đvdt)

Tam giác ABH vuông tại H nên \(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{6^2}{3\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Vậy \(BC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABH vuông tại H

=> BH = \(\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại H, đường cao AH

=> AB² = BH.BC

Hay 6² = \(3\sqrt{3}\) . BC

=> BC = \(\dfrac{6^2}{3\sqrt{3}}\) = \(4\sqrt{3}\) (cm)

Vậy BC = \(4\sqrt{3}\) (cm)

△ABC vuông tại A, đường cao AH: AB²=BH.BC⇒AB²=3,2.5⇒AB=√16⇒AB=4(cm)

bài 1 : (1) ta có : AB2+CH2=AH2+BH2+AC2−AH2$A{B}^2+C{H}^2=A{H}^2+B{H}^2+A{C}^2-A{H}^2$

=BH2+AC2(đpcm)$=B{H}^2+A{C}^2\left(đpcm\right)$

(2) a) ta có : AB2+AC2=2AH2+BH2+CH2$A{B}^2+A{C}^2=2A{H}^2+B{H}^2+C{H}^2$

=2AM2−2HM2+(BM−HM)2+(CM+HM)2$=2A{M}^2-2H{M}^2+{\left(BM-HM\right)}^2+{\left(CM+HM\right)}^2$

=2AM2−2HM2+BM2−2BM.HM+HM2+CM2+2CM.HM+HM2$=2A{M}^2-2H{M}^2+B{M}^2-2BM.HM+H{M}^2+C{M}^2+2CM.HM+H{M}^2$

=2AM2+BC2−2BM.CM=2AM2+BC2−2BC24$=2A{M}^2+B{C}^2-2BM.CM=2A{M}^2+B{C}^2-\frac{2B{C}^2}{4}$

=2AM2+BC22(đpcm)$=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}\left(đpcm\right)$

b) ta có : AC2−AB2=AH2+HC2−BH2−AH2$A{C}^2-A{B}^2=A{H}^2+H{C}^2-B{H}^2-A{H}^2$

=HC2−BH2=(CM+HM)2−(BM−HM)2$=H{C}^2-B{H}^2={\left(CM+HM\right)}^2-{\left(BM-HM\right)}^2$

=CM2+2CM.HM+HM2−BM2+2BM.HM−HM2$=C{M}^2+2CM.HM+H{M}^2-B{M}^2+2BM.HM-H{M}^2$

=2HM(CM+BM)=2HM.BC(đpcm)

Áp dụng hệ thức lượng :

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{12^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{20^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{225}\)

\(\Leftrightarrow AB=15cm\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{20.15}{2}=150cm^2\)

a) Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA

AKC^ + ABC^ = 2v

=> AKCH nội tiếp

=> CHK^ = CAB^ (1) ( cùng chắn cung CK)

CKH^ = CAH^ (2) ( cùng chắn cung CH)

CAH^ = ABC^ (3) ( so le trong)

(2) và (3) => CKH^ = ACB^ (4)

(1) và (4) => ΔCKH ~ ΔBCA (g.g)

b) Chứng minh HK=AC.sinBAD

ΔCKH ~ ΔBCA

=>HK/AC = CH/AB = CH/CD = sin(CDH^) = sin(BAD^) ( đồng vị)

=> HK = AC.sin(BAD^)

c) Tính diện tích tứ giác AKCH nếu góc BAD = 60 độ, AB=4cm, AD=5cm AB = CD = 4

CDH^ = BAD^ = 60*

=> CH = 4√3/2 = 2√3 ( đường cao tam giác đều cạnh = 4)

DH = CD/2 = 4/2 = 2

=> AH = AD + DH = 5 + 2 = 7

AD = BC = 5 CBK^ = BAD^ = 60*

=> CK = 5.√3/2

BK = BC/2 = 5/2

=> AK = AB + BK = 4 + 5/2 = 13/2 S(AKCH) = S(ACK) + S(ACH) = AK.CK/2 + AH.CH/2 = (13/2).( 5.√3/2)/2 + 7.(2√3)/2 = 732√3/8

(Vẽ nhanh nên hình có thể hơi lỗi, mong thông cảm)

a) Ta có : Xét \(_{\Delta ABC}\) vuông tại \(A\) => \(AH^2=HB.HC\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) => \(AH^2=AM.AB\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) => đpcm

b) Dễ thấy AMHN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

=> \(AH=MN\Rightarrow AH^2=MN^2\)

mà theo câu a, \(AH^2=HB.HC\) => \(MN^2=HB.HC\) (đpcm)

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vào ΔABC, ta được:

\(AB\cdot AC=BC\cdot AH\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{17\cdot17}{16}=18.0625cm\)

Vậy: AH=18,0625cm

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)

b) Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(AH^2=BH\cdot CH\)(định lí 2 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Leftrightarrow AH^2=2\cdot4,5=9\)

hay \(AH=\sqrt{9}=3cm\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{EAD}=90^0\)(ΔABC vuông tại A, E∈AC, D∈AB)

\(\widehat{HDA}=90^0\)(HD⊥AB)

\(\widehat{HEA}=90^0\)(HE⊥AC)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒AH=DE(hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE)

mà AH=3cm(cmt)

nên DE=3cm

Vậy: DE=3cm