Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ( a khác 0)

y = 3x - 1

Đồ thị hàm số y = ax + b song song với y = 3x + 2 --> a = 3

Mà tung độ gốc = -1 --> b = -1

--> y = 3x - 1

Bài 1:

\(b,\text{PT hoành độ giao điểm: }-2x+5=5x-2\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=3\Leftrightarrow E\left(1;3\right)\\ c,\Leftrightarrow\left(d_3\right)\text{//}\left(d_2\right)\Leftrightarrow a=5;b\ne-2\\ \Leftrightarrow\left(d_3\right):y=5x+b\\ \left(d_3\right)\cap\left(d_1\right)\text{ trên }Oy\Leftrightarrow y=-2x+5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow5\cdot\dfrac{5}{2}+b=0\\ \Leftrightarrow b=-\dfrac{25}{2}\\ \Leftrightarrow\left(d_3\right):y=5x-\dfrac{25}{2}\)

Bài 2:

\(a,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\3a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=-1\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\\ b,\left(d\right):y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\\ \text{Gọi góc tạo bởi }\left(d\right)\text{ và }Ox\text{ là }\alpha\\ \text{Vì }-\dfrac{1}{2}< 0\Leftrightarrow\alpha>90^0\\ \text{Hệ số góc: }\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\tan\left(180^0-\alpha\right)=\dfrac{1}{2}\approx27^0\\ \Leftrightarrow\alpha\approx180^0-27^0=153^0\)

b: Tọa độ giao điểm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=3-x\\y=3-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

PT giao Ox và Oy: 

\(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2m+1}{m+3}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2m+1}{m+3};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{2m+1}{m+3}\right|\\ x=0\Leftrightarrow y=-2m-1\Leftrightarrow B\left(0;-2m-1\right)\Leftrightarrow OB=\left|2m+1\right|\)

Gọi H là chân đường cao từ O tới (d)

Đặt \(OH^2=t\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m+3\right)^2}{\left(2m+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2+6m+10}{4m^2+4m+1}\\ \Leftrightarrow tm^2+6mt+10t=4m^2+4m+1\\ \Leftrightarrow m^2\left(t-4\right)+2m\left(3t-2\right)+10t-1=0\)

Vì PT bậc 2 ẩn m này có nghiệm nên \(\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3t-2\right)^2-\left(10t-1\right)\left(t-4\right)\ge0\\ \Leftrightarrow9t^2-12t+4-10t^2+41t-4\ge0\\ \Leftrightarrow-t^2+29t\ge0\\ \Leftrightarrow0\le t\le29\)

Do đó \(0\le OH\le\sqrt{29}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{4m^2+4m+1}{m^2+6m+10}=29\Leftrightarrow25m^2+170m+289=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5m+17\right)^2=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{17}{5}\)

Vậy \(OH_{max}=\sqrt{29}\Leftrightarrow m=-\dfrac{17}{5}\)

Gọi đt cần tìm có dạng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\a+b=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=6x+3\)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đt đi qua với mọi m

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m+3\right)x_0-2m-1\\ \Leftrightarrow mx_0+3x_0-2m-1-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0-2\right)+3x_0-y_0-1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\3x_0-y_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(2;5\right)\)

Vậy \(A\left(2;5\right)\) là điểm cố định mà đt đi qua với mọi m

\(b,\text{PT hoành độ giao điểm: }2x-1=-x+2\\ \Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=1\Leftrightarrow A\left(1;1\right)\\ c,\text{PT giao }Ox,Oy\text{ của }\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=2\Rightarrow B\left(2;0\right)\\x=0\Rightarrow y=2\Rightarrow C\left(0;2\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow S_{OBC}=\dfrac{1}{2}OB\cdot OC=\dfrac{1}{2}\left|2\right|\left|2\right|=2\left(đvdt\right)\\ d,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\2m\ne-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\\ e,\Leftrightarrow A\left(1;1\right)\in\left(d_3\right)\Leftrightarrow m+4=1\Leftrightarrow m=-3\\ f,\text{PT giao }Ox,Oy\text{ của }y=mx+2:\\ \left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=-\dfrac{2}{m}\Rightarrow E\left(-\dfrac{2}{m};0\right)\Rightarrow OE=\dfrac{2}{\left|m\right|}\\x=0\Rightarrow y=2\Rightarrow F\left(0;2\right)\Rightarrow OF=2\end{matrix}\right.\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến đths \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OE^2}+\dfrac{1}{OF^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{1}{4}=1\\ \Leftrightarrow m^2+1=4\\ \Leftrightarrow m^2=3\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{3}\)

b: Để hàm số đồng biến thì 2m-3>0

hay m>3/2

Để hàm số nghịch biến thì 2m-3<0

hay m<3/2