Giả sử x, y là nghiệm duy nhất của hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
Xác định a để xy là nhỏ nhất
p/s: min xy không phải là \(\dfrac{1}{2}\)
Giả sử x, y là nghiệm duy nhất của hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
Xác định a để xy là nhỏ nhất
p/s: min xy không phải là \(\dfrac{1}{2}\)
Giải hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3-xy^2=1\\4x^4+y^4=4x+y\end{matrix}\right.\)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(4x^4+y^4=x\left(4x^3+4y^3-4xy^2\right)+y\left(x^3+y^3-xy^2\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^4+y^4=4x^4+4xy^3-4x^2y^2+x^3y+y^4-xy^3\)
\(\Leftrightarrow4xy^3-4x^2y^2+x^3y-xy^3=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(y-x\right)\left(3y-x\right)=0\)
Đến đây dễ rồi nhé
Giải hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3\\x^2+2\left(y-x\right)=1\end{matrix}\right.\)
Giải hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2=1-xy\\x^2+y^2=3xy+11\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Lấy phương trình (1) nhân với $11$ rồi trừ đi phương trình (2) ta có:
\(11(x^2-y^2)-(x^2+y^2)=(11-11xy)-(3xy+11)\)
\(\Leftrightarrow 10x^2-12y^2=-14xy\)
\(\Leftrightarrow 5x^2-6y^2+7xy=0\)
\(\Leftrightarrow (5x-3y)(x+2y)=0\)
TH1 : \(5x-3y=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}y\)
Thay vào PT(1): \(\Rightarrow \frac{-16}{25}y^2=1-\frac{3}{5}y^2\Leftrightarrow \frac{-1}{25}y^2=1\) (vô lý)
TH2: \(x+2y=0\Leftrightarrow x=-2y\)
\(\Leftrightarrow 3y^2=1+2y^2\Leftrightarrow y^2=1\)
\(\Leftrightarrow y=\pm 1\Rightarrow x=\mp 2\) (thử lại thấy đúng)
Vậy \((x,y)=(2; -1); (-2; 1)\)
giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5\\x-y+\sqrt{2x+y}=1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=a\\\sqrt{2x+y}=b\end{matrix}\right.\) thì ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5\\5\left(x-y\right)+5\sqrt{2x+y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\3a^2-8b^2+5b=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=12\\b=-7\end{matrix}\right.\)(l)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Cho x,y,z,t thỏa mãn \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{y}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
Tính \(P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{x+t}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)
\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)
\(\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{y+z+t+x}{z+t+x}=\frac{z+t+x+y}{t+x+y}=\frac{t+x+y+z}{x+y+z}\)
Xét \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\)Khi đó \(P=1+1+1+1=4\)
Xét \(x+y+z+t=0\Rightarrow\begin{cases}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{cases}\)Khi đó \(P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)
ms đúng \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
Giải hệ pt
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x+y=12\\xy+2x-2y=-1\end{matrix}\right.\)
mọi người giúp mk bài này nhé ~~
\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2b-a=12\\b+2a=-1\end{matrix}\right.\)\(\left(a=x-y;b=xy\right)\)
\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow b=-1-2a\) thay vào \(pt\left(1\right)\):
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow a^2-5a-14=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-7\right)\left(a+2\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7\\a=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7\Rightarrow b=-1-2a=-15\\a=-2\Rightarrow b=-1-2a=3\end{matrix}\right.\)
Ta có các hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=7\\xy=-15\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-2\\xy=3\end{matrix}\right.\)
Giải tiếp....
Giải hệ pt
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2y^2=7x\\y2-2x^2=7y\end{matrix}\right.\)
lấy trên trừ dưới ta được\(\left(x^2-2y^2\right)-\left(y^2-2x^2\right)=7x-7y\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x+y\right)-7\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x+3y-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(1\right)\\3x+3y=7\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
từ (1) với 1 trong 2 pt trên ta đc hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-2y^2=7x\end{matrix}\right.\)
suy ra x và y
từ (2) với 1 trong 2 pt trên ta cũng có hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+3y=7\\x^2-2y^2=7x\end{matrix}\right.\)
Giải hệ pt
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2y^2=7x\\y^2-2x^2=7y\end{matrix}\right.^{ }}\)
Giải hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{y}-3x=4\\\dfrac{y^2}{x}-3y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-3xy-4y=0\left(1\right)\\y^2-3xy-4x=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
ta lấy (1)-(2)\(\Leftrightarrow x^2-3xy-4y-\left(y^2-3xy-4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y^2-4y+4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\left(3\right)\\x=-y-4\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
từ (1)(3) ta có hệ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-3xy-4y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-3xx-4x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\-2x^2-4x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
từ (1)(4) ta có hệ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y-4\\x^2-3xy-4y=0\end{matrix}\right.\)
giải tương tự