Hệ phương trình đối xứng

\(1,ĐK:x,y\ne0\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2y^2=y^3+1\\2x^2y^2=x^3+1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x^3+1=y^3+1\\ \Leftrightarrow x^3=y^3\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào PT 1

\(\Leftrightarrow2x^4=x^3+1\\ \Leftrightarrow2x^4-x^3-1=0\\ \Leftrightarrow2x^4-2x^3+x-1=0\\ \Leftrightarrow\left(2x^3+1\right)\left(x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^3=-\dfrac{1}{2}\\x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}}\\x=y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}};\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}}\right);\left(1;1\right)\)

\(2,ĐK:x,y\ge1\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)+\sqrt{y-1}=\dfrac{1}{2}\\2\left(y-1\right)+\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=a\ge0\\\sqrt{y-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2+b=\dfrac{1}{2}\\2b^2+a=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\2a+2b=1\end{matrix}\right.\)

Với \(a=b\Leftrightarrow x-1=y-1\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào \(PT\left(1\right)\Leftrightarrow2x+\sqrt{x-1}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=5-4x\)

\(\Leftrightarrow4x-4=25-40x+16x^2\\ \Leftrightarrow16x^2-44x+29=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{11+\sqrt{5}}{8}\left(tm\right)\\x=y=\dfrac{11-\sqrt{5}}{8}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(2a+2b=1\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{2}-a\Leftrightarrow\sqrt{y-1}=\dfrac{1}{2}-\sqrt{x-1}\)

Thay vào \(PT\left(1\right)\Leftrightarrow2x+\dfrac{1}{2}-\sqrt{x-1}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow2x-2=\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow4x^2-8x+4=x-1\\ \Leftrightarrow4x^2-9x+5=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{4}\Rightarrow y=1\left(tm\right)\\x=1\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{11+\sqrt{5}}{8};\dfrac{11+\sqrt{5}}{8}\right);\left(\dfrac{11-\sqrt{5}}{8};\dfrac{11-\sqrt{5}}{8}\right);\left(\dfrac{5}{4};1\right);\left(1;\dfrac{5}{4}\right)\)

\(2,ĐK:x\ge4;y\ge1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=a\\\sqrt{y-1}=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ge0\right)\)

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\a^2+b^2=58\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab+58=16\\a^2+b^2=58\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=-21\\a+b=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4-b\\b^2-4b-21=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=7\Rightarrow a=-3\\b=-3\Rightarrow a=7\end{matrix}\right.\left(loại\right)\)

Vậy hệ vô nghiệm

\(1,\\ \forall x=0\\ HPT\Leftrightarrow1=19\left(\text{vô lí}\right)\\ \forall x\ne0\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^3}+y^3=19\\\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{y^2}{x}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{x}+y\right)^3-3\cdot\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{1}{x}+y\right)=19\\\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{1}{x}+y\right)=-6\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+y=a\\\dfrac{y}{x}=b\end{matrix}\right.\)

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3-3ab=19\\ab=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+y=1\\\dfrac{y}{x}=-6\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+xy=x\\y=-6x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3};y=-2\\x=-\dfrac{1}{2};y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};-2\right);\left(-\dfrac{1}{2};3\right)\)

Trừ vế cho vế:

\(x^2-y^2+y-x=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x\\y=1-x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu:

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=1\\x^2+1-x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\x=0;y=1\\x=1;y=0\\\end{matrix}\right.\)

m nào

đề bài là tìm a nhé

Vốn ở Carolina chỉ có 16000 thôi chứ pk?

Gọi số nhà nên xây ở Carolina và Savannah lần lượt là x;y

Có \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\le300\\16000x+24000y\le4800000\\160x+160y\le43200\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y\le\dfrac{43200}{160}=270\\2x+3y\le600\end{matrix}\right.\) (I)

Lợi nhuận là \(F\left(x;y\right)=40000x+50000y\) 

Miền nghiệm của hệ (I) là miền trong của tứ giác OABC

\(A\left(270;0\right)\);\(C\left(0;200\right)\);\(B\left(210;60\right)\)

\(\Rightarrow F_A=10800000\left(USD\right)\)

\(F_B=11400000\left(USD\right)\)

\(F_C=10000000\left(USD\right)\)

=>Lợi nhuận thu được tối đa là 11400000 USD với số nhà xây trên Carolina và Savannah lần lượt là 210 và 60 nhà

ĐKXĐ: ...

Trừ vế cho vế:

\(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{1-y}-\sqrt{1-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{1-y}+\sqrt{1-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y}+\sqrt{1-x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thế vào pt đầu: 

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m+1\)

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{x+1-x}=1\)

Đồng thời: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(x+1-x\right)}=\sqrt{2}\)

Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi:

\(1\le m+1\le\sqrt{2}\Leftrightarrow0\le m\le\sqrt{2}-1\)