Hệ phương trình đối xứng

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 21:05

ĐKXĐ: \(xy\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2y=y^2+2\\3xy^2=x^2+2\end{matrix}\right.\)

Chia vế cho vế:

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y^2+2}{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x=y^3+2y\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu: \(3x=\frac{x^2+2}{x^2}\Leftrightarrow3x^3-x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x^2+2x+2\right)=0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 16:28

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+4}=a\ge2\\2y=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-4+b^2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=m-a\\a^2+b^2-m-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+\left(m-a\right)^2-m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-m-2=0\) (1)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm \(a\ge2\)

- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-m-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+2m+4\ge0\Rightarrow1-\sqrt{5}\le m\le1+\sqrt{5}\)

- Để (1) có 2 nghiệm \(a_1\le a_2< 2\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a_1-2\right)\left(a_2-2\right)>0\\\frac{a_1+a_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1a_2-2\left(a_1+a_2\right)+4>0\\a_1+a_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{m^2-m-2}{2}-2m+4>0\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+6>0\\m< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 2\\3< m< 4\end{matrix}\right.\)

Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow2\le m\le3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 16:14

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y-3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=m\\a^2-1+b^2+3=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(b+m\right)^2+b^2=2m\)

\(\Leftrightarrow2b^2+2m.b+m^2-2m=0\) (1)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm không âm

Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\Rightarrow0\le m\le4\)

Để (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1+b_2=-\frac{m}{2}< 0\\b_1b_2=\frac{m^2-2m}{2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\)

Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow0\le m\le2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 16:06

ĐKXĐ: ....

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2-ab=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\\left(a+b\right)^2-3ab=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\ab=\frac{m^2-m}{3}\end{matrix}\right.\)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: \(t^2-m.t+\frac{m^2-m}{3}=0\) có 2 nghiệm ko âm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=m^2-\frac{4}{3}\left(m^2-m\right)\ge0\\t_1+t_2=m\ge0\\t_1t_2=\frac{m^2-m}{3}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m-m^2\ge0\\m\ge0\\m\left(m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\1\le m\le4\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 15:58

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(a^2-1\right)b+\left(b^2-1\right)a+a+b=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2b+ab^2=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab\left(a+b\right)=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=\frac{m}{3}\end{matrix}\right.\)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{m}{3}\ge0\\\left(a+b\right)^2\ge4ab\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9\ge\frac{4m}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0\le m\le\frac{27}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Ngọc Lộc
Nguyễn Ngọc Lộc CTV 26 tháng 7 2020 lúc 15:29

Ta có : \(x^2+y^2=6-m^2\)

=> \(\left(x+y\right)^2-2xy=6-m^2\)

=> \(xy=\frac{6-2m^2}{-2}=m^2-3\)

Ta có : \(x^2-Sx+P=0\)

=> \(x^2-mx+m^2-3=0\)

=> \(\Delta=b^2-4ac=m^2-4\left(m^2-3\right)\)

=> \(\Delta=m^2-4m^2+12=12-3m^2\)

- Để phương trình có hai nghiêm phân biệt thì :

\(\Delta=12-3m^2>0\)

=> \(m^2< 4\)

=> \(-2< m< 2\)

Vậy ...

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 15:29

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=6-m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\xy=m^2-3\end{matrix}\right.\)

Để hệ đã cho có nghiệm

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow m^2\ge4\left(m^2-3\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2\le4\Rightarrow-2\le m\le2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 15 tháng 4 2020 lúc 17:40

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\\left(x+y\right)^2-2xy=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\2xy=\left(2a-1\right)^2-\left(a^2+2a-3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}\end{matrix}\right.\)

Hệ pt đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge4\left(\frac{3a^2-6a+4}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge6a^2-12a+8\)

\(\Leftrightarrow2a^2-8a+7\le0\Rightarrow\frac{4-\sqrt{2}}{2}\le a\le\frac{4+\sqrt{2}}{2}\)

Khi đó: \(f\left(a\right)=xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}=\frac{3}{2}a^2-3a+2\)

Xét \(f\left(a\right)\) trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)

\(\frac{3}{2}>0;\) \(\frac{3}{2.\frac{3}{2}}=1< \frac{4-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)_{min}=f\left(\frac{4-\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{11-6\sqrt{2}}{4}\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN