Hệ phương trình đối xứng

ms đúng \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

\(\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{y+z+t+x}{z+t+x}=\frac{z+t+x+y}{t+x+y}=\frac{t+x+y+z}{x+y+z}\)

Khi đó \(P=1+1+1+1=4\)

Khi đó \(P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2b-a=12\\b+2a=-1\end{matrix}\right.\)\(\left(a=x-y;b=xy\right)\)

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow b=-1-2a\) thay vào \(pt\left(1\right)\):

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow a^2-5a-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-7\right)\left(a+2\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7\\a=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7\Rightarrow b=-1-2a=-15\\a=-2\Rightarrow b=-1-2a=3\end{matrix}\right.\)

Ta có các hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=7\\xy=-15\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-2\\xy=3\end{matrix}\right.\)

Giải tiếp....

lấy trên trừ dưới ta được\(\left(x^2-2y^2\right)-\left(y^2-2x^2\right)=7x-7y\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x+y\right)-7\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x+3y-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(1\right)\\3x+3y=7\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

từ (1) với 1 trong 2 pt trên ta đc hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-2y^2=7x\end{matrix}\right.\)

suy ra x và y

từ (2) với 1 trong 2 pt trên ta cũng có hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+3y=7\\x^2-2y^2=7x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-3xy-4y=0\left(1\right)\\y^2-3xy-4x=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ta lấy (1)-(2)\(\Leftrightarrow x^2-3xy-4y-\left(y^2-3xy-4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2-4y+4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+4\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\left(3\right)\\x=-y-4\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

từ (1)(3) ta có hệ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-3xy-4y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-3xx-4x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\-2x^2-4x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

từ (1)(4) ta có hệ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y-4\\x^2-3xy-4y=0\end{matrix}\right.\)

giải tương tự

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2=2x^2+y\\xy^2+2x^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2-y=2x^2\\xy^2-1=-2x^2\end{matrix}\right.\)

☘ Cộng vế theo vế

\(\Rightarrow x^2y^2-1+xy^2-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(xy+1\right)+y\left(xy-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(xy+1+y\right)=0\)

☘ Trường hợp 1: xy = 1 \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{y}\)

☘ Trường hợp 2: \(xy+1+y=0\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1+y}{y}\)

⚠ Thay vào 1 trong 2 phương trình đề bài cho rồi làm tiếp nhé.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y+2=y^2\\xy^2+2=x^2\end{matrix}\right.\)

☘ Trừ vế theo vế

\(\Rightarrow x^2y-xy^2=y^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+xy\right)=0\)

☘ Trường hợp 1: \(x=y\)

☘ Trường hợp 2: \(x+y+xy=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(1+x\right)=-x\)

\(\Leftrightarrow y=-\dfrac{x}{1+x}\) thay vào phương trình thứ 2

\(\Rightarrow x\left(-\dfrac{x}{1+x}\right)^2+2=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^3+2\left(1+x\right)^2-x^2\left(1+x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-x^2-4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)

⚠ Tự giải tiếp nha. Mà chưa học hệ phương trình đối xưng gì đó nên không chắc đâu.

Lấy pt (1)-pt(2) ta có:

\(x^2y-xy^2=y^2-x^2\)

<=>\(xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0\)

<=>\((x-y)(x+y+xy)=0\)

=>x=y hoặc x+y+xy=0=>y(x+1)=-x=>y=\(\frac{-x}{x+1} \)

Với x=y

=>\(x^3-x^2+2=0\)

=>x=-1

=>y=-1

Với y=\(\frac{-x}{x+1} \)

=>\(\frac{-x^3}{x+1} +2-\frac{x^2}{(x+1)^2}=0 \)

tự giải nốt nha

Dễ thấy \(x=0\)không phải là nghiệm của hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3xy+y^2=15\\x^2+xy+y^2=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16x^2+24xy+8y^2=120\\15x^2+15xy+15y^2=120\end{matrix}\right.\)

Lấy trên trừ dưới ta được

\(x^2+9xy-7y^2=0\)

Đặt \(y=tx\) thì được

\(x^2+9tx^2-7t^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow7t^2-9t-1=0\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé

Dễ thấy \(\left(x,y\right)=\left(1,0\right);\left(0,1\right)\) là 2 nghiệm của hện trên vậy nên không tồn tại a để cho hệ có nghiệm duy nhất.

Xong

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=4\\ (x+y)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2)=280\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow (x^2-xy+y^2)(x^2+y^2)=\frac{280}{4}=70\)

\(\Leftrightarrow [(x+y)^2-3xy][(x+y)^2-2xy]=70\)

\(\Leftrightarrow (16-3xy)(16-2xy)=70\)

\(\Leftrightarrow (16-3xy)(8-xy)=35\)

\(\Leftrightarrow 3(xy)^2-40xy+93=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=3\\xy=\dfrac{31}{3}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(xy=3\), sử dụng định lý Viete đảo, $x,y$ là nghiệm của pt:

\(X^2-4X+3=0\Rightarrow (x,y)=(1,3)\) và hoán vị

Nếu \(xy=\frac{31}{3}\Rightarrow \) theo định lý Viete đảo, $x,y$ là nghiệm của pt:

\(X^2-4X+\frac{31}{3}=0\)

Thấy \(X^2-4X+\frac{31}{3}=(X-2)^2+\frac{19}{3}>0\) nên pt vô nghiệm

Vậy \((x,y)=(1,3)\) và hoán vị