Hệ phương trình đối xứng

Điều kiện \(x>-0,5,y>-0,5\). lấy (i) và (ii) trừ nhau , ta được 

\(x^2+3x+ln\left(2x+1\right)-y^2-3y-ln\left(2y+1\right)=y-x\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+ln\left(2x+1\right)=y^2+4y+ln\left(2y+1\right)\left(2\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+4t+\ln\left(2t+1\right)\) trên khoảng \(\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\), ta có :

\(f'\left(t\right)=2t+4+\frac{2}{2t+1}>0\) với mọi \(\in\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\)

vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoản \(\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\) . Từ đó (1) xảy ra khi và chỉ khi x=y . Thay vào phương trình (i) được \(x^2+2x+ln\left(2x+1\right)=0.\)(3) . Dễ thấy x=0 thỏa mãn(3) . xét hàm số g(x)=\(x^2+2x+ln\left(2x+1\right)\). Ta có 

                                    \(g'\left(x\right)=2x+2+\frac{2}{2x+1}>0\veebar x>-\frac{1}{2}\)

vậy hàm g(x) đồng biến \(\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\), suy ra x=0 là nghiệm duy nhất của (3) . Hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)

Điều kiện \(x\ge0;y\ge0\)

Dễ thấy nếu x = 0; y = 0 và ngược lại nên hệ có nghiệm (x;y) = (0;0)

Ta xét x > 0 và y > 0. Xét hàm số :

\(f\left(t\right)=\frac{t^2+\sqrt{t}}{2};t>0\)

Ta thấy \(f'\left(t\right)=t+\frac{1}{4\sqrt{t}}>0\) với mọi \(t>0\) nên đây là hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

Hệ đã cho được viết lại thành : \(\begin{cases}x=f\left(y\right)\\y=f\left(x\right)\end{cases}\)

Nếu x > y thì \(f\left(x\right)>f\left(y\right)\) suy ra y>x vô lý.

Tương tự, nếu x < y thì cũng vô lí. Vậy x = y, thay vào (*) được

\(x^2+\sqrt{x}=2x\Leftrightarrow x\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}\)

                        \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)=0\)

                        \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là :

\(\left(0;0\right);\left(1;1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\)

Từ phương trình ban đầu ta có :

      \(\begin{cases}x^3-2x^2+2x+1=2y\\y^3-2y^2+2y+1=2x\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)=2y\\f\left(y\right)=2x\end{cases}\) với \(f\left(t\right)=t^3-2t^2+2t+1\)

Ta có \(f'\left(t\right)=3t^2-4t+2>0\), với mọi \(t\in R\) nên f đồng biến trên R

* Nếu \(x>y\Rightarrow2x>2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) (Mâu thuẫn)

* Nếu \(x< y\Rightarrow2x< 2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) (Mâu thuẫn)

* Vậy \(x=y\) , ta có hệ phương trình ban đầu tương đương :

\(\begin{cases}x=y\\x^3-2x^2+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x\in\left\{1;\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\end{cases}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :

\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\begin{cases}2^x-2=3y-3^x\\2^y-2=3x-3^y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2^x+3^x=3y+2\\2^y+3^y=3x+2\end{cases}\)

Từ đó suy ra để (x;y) là nghiệm của hệ thì \(x>-\frac{2}{3}\) và\(y>-\frac{2}{3}\)

Xét hàm số : 

         \(f\left(t\right)=2^t+3^t\) có \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2+3^t.\ln3>0\) với mọi \(t\in\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)

Vậy hàm số f đồng biến trên \(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)

* Nếu \(x>y\) thì \(3x+2>3y+2\Rightarrow f\left(y\right)>f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) mâu thuẫn

* Nếu \(x< y\) thì \(3x+2< 3y+2\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) mâu thuẫn

Suy ra \(x=y\), ta có hệ tương đương :

                \(\begin{cases}x=y\\2^x+3^x=3x+2\left(1\right)\end{cases}\)

Xét \(g\left(t\right)=2^t+3^t-3t-2\), ta có

       \(g"\left(t\right)=2^t.\ln^22+3^t\ln^23>0\)

nên \(g'\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm 

Suy ra \(g\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm

Như vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : \(x=1;x=0\)

Vậy hệ phương trình đã cho : \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)

Đặt \(S=x+y\);  \(P=xy\); Điều kiện : \(S^2\ge4P\)

Khi đó :

          \(\begin{cases}S+P=3\\S^2+S-2P=12\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}P=3-S\\S^2+3S-18=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\left(S;P\right)=\left(3;0\right)\\\left(S;P\right)=\left(-6;9\right)\end{array}\right.\)

* Khi \(\left(S;P\right)=\left(3;0\right)\) ta có : \(\begin{cases}x+y=3\\xy=0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x;y\right)=\left(3;0\right)\\\left(x;y\right)=\left(0;3\right)\end{cases}\)

* Khi \(\left(S;P\right)=\left(-6;9\right)\) ta có : \(\begin{cases}x+y=-6\\xy=9\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=-3\end{cases}\)

Hệ có 3 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;0\right);\left(0;3\right);\left(-3;-3\right)\)

\(\begin{cases}xy+x+y=3\\x^2+y^2+x+y=12\end{cases}\)(*) <=> \(\begin{cases}xy+x+y=3\\\left(x+y\right)^2+x+y-2xy=12\end{cases}\)(**)

Đặt S=x+y;P=xy (S²\(\ge\)4P)

HPT (**) trở thành: \(\begin{cases}P+S=3\\S^2+S-2P=12\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}P=3-S\\S^2+3S-18=0\end{cases}\)

*S²+3S-18 =0

\(\Delta=81>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=9\)

=>PT có 2 nghiệm phân biệt:

\(S_1=3;S_2=-6\)

Với S=3 =>P=0 (nhận)

=>x,y là các nghiệm của PT:

\(X^2-3X=0\Leftrightarrow X\left(X-3\right)=0\Leftrightarrow X=0\) hoặc X=3

Với S=-6 =>P=9 (nhận)

=>x,y là các nghiệm của PT:

\(X^2+6x+9=0\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=0\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy HPT(*) có 3 nghiệm: (0;3);(3;0);(3;3)

điều kiện |x| \(\le\sqrt{26}\). đặt y=\(\sqrt{26-x^2\ge0,}\) ta có hệ

\(\begin{cases}x^2+y^2=26\\x+y+xy=11\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\left(x+y^2\right)-2xy=26\\x+y+xy=11\end{cases}\)

Đặt S=x+y và P=xy, điều kiện \(S^2\ge4P\). khi đó 

\(\begin{cases}S^2-2P=26\\S+P=11\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2-2\left(11-S\right)=26\\P=11-S\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-48=0\\P=11-S\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)P=11-S và \(\left[\begin{array}{nghiempt}S=6\\S=-8\end{array}\right.\)

\(\begin{cases}S=6\\P=5\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}S=-8\\P=19\end{cases}\) (loại)

vậy \(\begin{cases}x+y=6\\xy=5,\end{cases}\) hay x và y là nghiệm của phương trình 

\(t^2-6t+5=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=5\end{array}\right.\)

do đó \(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}\)

* Khi \(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\) ta có \(\begin{cases}x=1\\\sqrt{26-x^2=5}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=1\)

* Khi \(\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}\) ,ta có \(\begin{cases}x=5\\\sqrt{26-x^2=1}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=5\)

phương trình có hai nghiệm x=1 và x=5

Ta có :  \(\sqrt{33-2x-x^2}=\left(2-\sqrt{x+1}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{34-\left(1+x\right)^2}=\left(2-\sqrt{x+1}\right)^2\)

Giải phương trình có nghiệm là x :

Đặt\(\begin{cases}u=\sqrt{1+x};u\ge0\\v=2-\sqrt{1+x}\end{cases}\), khi đó : 

                               \(v^4=\left(2-\sqrt{1+x}\right)^4=\left(\sqrt{34-\left(1+x\right)^2}\right)^2=34-\left(1+x\right)^2=34-u^4\)

Ta thu được hệ :

     \(\begin{cases}u+v=2\\u^4+v^4=34\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\\left(u+v\right)^4-4uv\left(u+v\right)^2+2u^2v^2=34\end{cases}\)

                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\\left(uv\right)^2-8uv-9=0\end{cases}\)

                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=9\end{cases}\) (vô nghiệm) hoặc \(\Rightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=-1\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=1-\sqrt{2}< 0\\v=2+\sqrt{2}\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=1+\sqrt{2}\\v=1-\sqrt{2}\end{cases}\)

Với \(u=1+\sqrt{2}\) ta tìm được \(x=2+2\sqrt{2}\)

Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=2+2\sqrt{2}\)

Điều kiện : \(x>-\frac{1}{3};y>-\frac{1}{3}\). Lấy hai phương trình của hệ trừ nhau :

\(3x^2+4x+2\ln\left(3x+1\right)-3y^2+4y+2\ln\left(3y+1\right)=2y-2x\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2+6+2\ln\left(3x+1\right)=3y^2+6y+2\ln\left(3y+1\right)\left(2\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=3t^2+6t+2\ln\left(3t+1\right)\) trên khoảng \(\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\)

Ta có : \(f'\left(t\right)=6t+6+\frac{6}{3t+1}>0\), với mọi \(t\in\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\)

Vậy hàm số \(f\left(t\right)\) đồng biên trên khoảng  \(\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\). Từ đó (2) xảy ra khi và chỉ khi x = y. Thay vào hệ phương trình đã cho, ta được :

  \(3x^2+4x+2\ln\left(3x+1\right)=2x\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+2\ln\left(3x+1\right)=0\) (3)

Dễ thấy x = 0 thỏa mãn (3)

Xét hàm số \(g\left(x\right)=3x^2+2x+2\ln\left(3x+1\right)\)

0

\(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}:x=-3\)

=> \(\frac{1}{4}:x=-3-\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{1}{4}:x=\frac{-15}{4}\)

=> x = \(\frac{-15}{4}.\frac{1}{4}=\frac{-15}{16}\)

Mk nhầm nha bạn

\(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}:x=-3\)

=> \(\frac{1}{4}:x=\frac{-15}{4}\)

=> x = \(\frac{1}{4}:\frac{-15}{4}=\frac{-1}{15}\)