5'8'' là cao bao nhiu?
nêu cách tính
5'8'' là cao bao nhiu?
nêu cách tính
Giải phương trình :
\(\left(5^{x+2}\right)^{x+1}+\left(5^x\right)^{x+3}=\left(2^{x+1}\right)^{x+5}-6\left(2^{x+6}\right)^x\)
Phương trình đã cho tương đương với :
\(5^{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}+5^{x\left(x+3\right)}=2^{\left(x+1\right)\left(x+5\right)}-6.2^{\left(x+6\right)x}\)
\(\Leftrightarrow5^{x^2+3x+2}+5^{x^2+3x}=2^{x^2+6x+5}-6.2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow26.5^{x^2+3x}=26.2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow5^{x^2+3x}=2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x\right)\log_25=x^2+6x\)
\(\Leftrightarrow x\left[\left(x+3\right)\log_25-\left(x+6\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\frac{6-3\log_25}{\log_25-1}=\log_{\frac{5}{2}}\frac{64}{125}\end{array}\right.\)
Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases}x+y=1-2xy\\x^2+y^2=1\end{cases}\)
Đặt \(S=x+y;P=xy;\left(S^2\ge4\right)\), hệ viết lại : \(\begin{cases}S=1-2P\left(1\right)\\S^2-2P=1\left(2\right)\end{cases}\)
Thay (1) vào (2), ta được :
\(\left(1-2P\right)^2-2P=1\Leftrightarrow4P^2-6P=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}P=0\\P=\frac{3}{2}\end{array}\right.\)
* Khi \(P=0\) ta có \(S=0\), vậy \(x+y=1\) và \(xy=0\) suy ra \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \(t^2-t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=0\\t=1\end{array}\right.\) do đó \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)\(;\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\)
* Khi \(P=\frac{3}{2}\) ta có \(S=-2\) không thỏa mãn điều kiện \(S^2\ge4P\)
Kết luận : Hệ phương trình có 2 nghiệm là \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\) và\(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{cases}\)
Điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\), khi đó :
\(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\)
Thay vào hệ phương trình ta được :
\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\\left(a+b\right)^2-2ab=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}\)
Do đó a và b là nghiệm của phương trình : \(t^2-5t+6=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=2\\t=3\end{cases}\)
vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(a;b\right)=\left(3;2\right)\)
* Khi \(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x+1=0\\y^2-3x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
* Khi \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3\\y+\frac{1}{y}=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x+1=0\\y^2-2x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
Các nghiệm (x;y) là
\(\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\)
giải hệ phương trình \(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\xy+x-y=-1\end{cases}\)
Đặt \(-x=u\). Hệ phương trình đã cho chuyển thành :
\(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\-yu-\left(u+y\right)=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\uy+\left(u+y\right)=1\end{cases}\) (*)
Đặt \(u+y=S;uy+P\) , điều kiện \(S^2\ge4P\). Thay vào (*), ta được :
\(\begin{cases}S^2-2P+S=2\\S+P=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}P=1-S\\S^2+3S-4=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}S=1\\P=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}S=-4\\P=5\end{cases}\) (loại)
Vậy \(\begin{cases}u+y=1\\uy=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow u+y=1\) và \(\left[\begin{array}{nghiempt}y=0\\u=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=0\\u=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}u=0\\y=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=0\\x=-1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)
Hệ có 2 nghiệm là \(\begin{cases}y=0\\x=-1\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)
Cho 2 số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=x+y\)
Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)
Thay vào (1), ta được :
\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)
Hay u và v là nghiệm của phương trình :
\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\) (2)
Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :
\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)
Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)
Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)
Min K = \(9+3\sqrt{15}\)
Xét hai số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện :
\(\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}\)
gọi T là tập hợp giá trị của F
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\\\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}=m\end{cases}\)
Đặt S = \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y},P=\sqrt[3]{xy}\) điều kiện \(S^2\ge4P\)hệ 1 trở thành
\(\begin{cases}S^2-S-3P=0\\S+P=m\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-3m=0\\P=m-s\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m=\frac{S^2+2S}{3}\\P=\frac{S^2-S}{3}\end{cases}\)
Ta có \(S^2\ge4P\Leftrightarrow S^2\ge\frac{4S^2-4S}{3}\Leftrightarrow s^2-4S\le0\Leftrightarrow0\le S\le4\)
từ đó , hệ 1 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)hệ 2 có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4P\Leftrightarrow\)phương trình \(S^2+2S-3m=0\)có nghiệm S thỏa mãn điều kiện 0\(0\le S\le4\)tức là
\(\Delta'=1+3m\ge0\)và \(\left[\begin{array}{nghiempt}0\le-1-\sqrt{1+3m}\le4\\0\le-1+\sqrt{1+3m}\le4\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m\ge-\frac{1}{3}\\1\le\sqrt{1+3m}\le5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le m\le8\)
vậy max F=8, min=0
Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z=-2\\x^2+y^2+z^2=6\\x^5+y^5+z^{ }=-32\end{cases}\)
Đặt \(p=x+y+z\)
\(q=xy+zy+zx\)
\(r=xyz\)
Ta có :
\(2q=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=4-6=-2\Rightarrow q=-1\)
Bây giờ ta sẽ đi tìm r
Đặt \(S_n=x^n+y^n+z^n\)
Khi đó \(S_0=3\)
\(S_1=-2\)
\(S_2=6\)
Ta có :
\(S_n-\left(x+y+z\right)S_{n-1}+\left(xy+yz+zx\right)S_{n-2}-xýzS_{n-3}=0\)
Suy ra \(S_n=-2S_{n-1}+S_{n-2}+rS_{n-3}\)
Lấy n = 3, ta được :
\(S_3=-2S_2+S_1+rS_0=-14+3r\)
Lấy n = 4, ta được :
\(S_4=-2S_3+S_2+rS_1=28-6r+6-2r=34-8r\)
Lấy n = 5, ta được :
\(S_5=-2S_4+S_3+rS_2=-68+16r-14+3r+6r=-82+25r\)
Mà \(S_5=-32\) nên r = 2.
Do đó x, y, z là nghiệm của phương trình
\(t^3+2t^2-t-2=0\Leftrightarrow t\in\left\{1;-1;-2\right\}\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left\{1;-1;-2\right\}\) và các hoán vị của nó
Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}\left(4x+2\right)^2=2y+15\left(1\right)\\\left(4y+2\right)^2=2x+15\left(2\right)\end{cases}\)
Trừ 2 vế ta được: (4x + 2)2 - (4y + 2)2 = 2y - 2x => (4x + 2 + 4y + 2).(4x + 2 - 4y - 2) + 2x - 2y = 0
=> (4x + 4y + 4).(4x - 4y) + 2.(x - y) = 0
=> 16.(x + y + 1).(x - y) + 2.(x - y) = 0
=> 8.(x + y + 1).(x - y) + 2.(x - y) = 0
=> (x - y). (8x + 8y + 8 + 2) = 0
=> (x - y).(8x + 8y + 10) = 0
=> (x - y).(4x + 4y + 5) = 0
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\4x+4y+5=0\end{array}\right.\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\x=\frac{-5-4y}{4}\end{array}\right.\)
Tới đây bạn chia ra 2 trường hợp giải nha
Lấy (2) trừ (1), ta có :
\(\left(4x-4y\right)\left(4x+4y+4\right)=2y-2x\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left(8x+8y+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\8x+8y+9=0\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=x\\y=-\frac{8x+9}{8}\end{array}\right.\)
* Với \(y=x\), thay vào (1) ta có :
\(\left(4x+2\right)^2=2x+15\)
\(\Leftrightarrow16x^2+14x-11=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{1}{2}\\x=-\frac{11}{8}\end{array}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right);\left(x;y\right)=\left(-\frac{11}{8};-\frac{11}{8}\right)\) là nghiệm của hệ phương trình
* Với \(y=-\frac{8x+9}{8}\), ta có :
\(\left(4x+2\right)^2=15-\frac{8x+9}{4}\)
\(\Leftrightarrow64x^2+72x-35=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-9\pm\sqrt{221}}{16}\)
Khi \(x=\frac{-9-\sqrt{221}}{16}\Rightarrow y=\frac{-9+\sqrt{221}}{16}\)
Khi \(x=\frac{-9+\sqrt{221}}{16};y=\frac{-9-\sqrt{221}}{16}\)
Hệ đã cho có 4 nghiệm :
\(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right);\left(-\frac{11}{8};-\frac{11}{8}\right);\left(\frac{-9-\sqrt{221}}{16};\frac{-9+\sqrt{221}}{16}\right);\left(\frac{-9+\sqrt{221}}{16};\frac{-9-\sqrt{221}}{16}\right)\)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm suy nhất :
\(\begin{cases}xy+x^2=m\left(y-1\right)\left(1\right)\\xy+y^2=m\left(x-1\right)\left(2\right)\end{cases}\)
* Điều kiện cần : Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y), khi đó, dễ thấy (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất suy ra y = x, thay vào (1) ta có :
\(x^2+x^2=m\left(x-1\right)\Leftrightarrow2x^2-mx+m=0\left(3\right)\)
Vì (3) có nghiệm kép nên \(\Delta=m^2-8m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\m=8\end{array}\right.\)
* Điều kiện đủ :
+ Khi m = 0 hệ phương trình đã cho trở thành
\(\begin{cases}xy+x^2=0\\xy+y^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x\left(y+x\right)=0\\y\left(x+y\right)=0\end{cases}\) (4)
Dễ thấy (1;-1) và (2;-2) là nghiệm (4), vậy m=0 không thỏa mãn đề bài
+)khi m=8 hệ phương trình đã trở thành \(\begin{cases}xy+x^2=8y-8\left(5\right)\\xy+y^2=8x-8\left(6\right)\end{cases}\)
lấy (5) trừ (6) được
\(x^2-y^2=8\left(y-x\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+8\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\y=-8-x\end{array}\right.\)
khi y=x thay vào (5) ta được \(2x^2-8x+8=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2\)khi y=-8-x, thay vào (5) ta được
\(x\left(-8-x\right)+x^2=8\left(-8-x\right)-8\Leftrightarrow-8x=-64-8x-8\)(VÔ NGHIỆM
kết luận : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=8