Hệ phương trình đối xứng

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 19 tháng 12 2020 lúc 17:54

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x+y}+6x-3y=6\\\dfrac{3}{x+y}+2x-4y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x+y=5\Rightarrow y=5-4x\)

Thế vào phương trình đầu:

\(\dfrac{1}{x+5-4x}+2x-\left(5-4x\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{5-3x}+6x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x-7\right)\left(5-3x\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
Hồng Phúc CTV 18 tháng 12 2020 lúc 23:02

ĐK: \(x,y\ge2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=3\\\sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=3\\\sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y-2\right)}=10\left(1\right)\\x+y+2\sqrt{\left(y+1\right)\left(x-2\right)}=10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(y-2\right)}=\sqrt{\left(y+1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow xy-2x+y-2=xy-2y+x-2\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=10\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x-2}=5-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x-2=x^2-10x+25\\5-x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x=27\\x\le5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=3\left(tm\right)\)

Thử lại ...

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 7 tháng 12 2020 lúc 2:16

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|=a\ge0\\\left|y\right|=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=b^2-b\\b=a^2-a\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế: \(a-b=b^2-b-\left(a^2-a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

Thay vào pt đầu: \(a=a^2-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(2;2\right);\left(-2;-2\right);\left(-2;2\right);\left(2;-2\right)\)

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 5 tháng 12 2020 lúc 23:26

Đặt \(\sqrt[3]{x^2}=a;\sqrt[3]{y^2}=b\left(a,b\ge0\right)\).

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+a^2b=6\left(1\right)\\b^3+b^2a=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

Trừ vế với vế của (1), (2) ta được:

\(\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2b-ab^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2=0\)

Dễ thấy a, b khác 0. Do đó a, b > 0.

\(\Rightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\).

Thay a = b vào (1) ta có: \(2a^3=6\Leftrightarrow a=b=\sqrt[3]{3}\).

Do đó \(x^2=y^2=3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=\pm\sqrt{3}\\x=\sqrt{3};y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3};y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\).

Vậy...

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 23 tháng 10 2020 lúc 22:22

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y+1=6\\\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=6\\\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3=35\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\y+1=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=6\\a^3+b^3=35\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+\left(\frac{6}{a}\right)^3=35\Rightarrow\left(a^3\right)^2-35.a^3+216=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^3=27\\a^3=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2;b=3\\a=3;b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow...\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 18 tháng 10 2020 lúc 13:54
Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 23:13

ĐKXĐ: ...

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+91}-\sqrt{y^2+91}=\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}+y^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\) (ngoặc to luôn dương với \(x;y\ge2\))

Thay vào pt đầu:

\(\sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-\sqrt{x^2+91}+\sqrt{x-2}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+x^2-90}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x^2+10\right)}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{\left(x+3\right)\left(x^2+10\right)}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=3\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 8:28

Lời giải:

Lấy PT $(1)$ trừ PT $(2)$ theo vế ta có:

\(4(x-y)=4\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)=-\frac{4(x^2-y^2)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow 4(x-y)+\frac{4(x-y)(x+y)}{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow 4(x-y)\left[1+\frac{x+y}{xy}\right]=0\)

Đến đây ta xét các TH:

TH1: $x-y=0$

$\Leftrightarrow x=y$. Thay vào PT$(1)$ ta có: $-2x=4\Rightarrow x=-2$

$\Rightarrow (x,y)=(-2,-2)$ (thỏa mãn)

TH2: $1+\frac{x+y}{xy}=0\Leftrightarrow xy=-(x+y)$

Lấy PT $(1)+(2)$ theo vế ta có:

$-(x+y)=\frac{2(x^2+y^2)}{xy}$

$\Rightarrow -xy(x+y)=2(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=2(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2=0\Rightarrow x=y$

Giống TH1 ta có $x=y=-2$

Vậy......

 

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 8:50

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2y=y^2+1(1)\\ 2xy^2=x^2+1(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)-(2)$ theo vế suy ra:

$2xy(x-y)=y^2-x^2=-(x-y)(x+y)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2xy+x+y)=0$

Xét các TH sau:

Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào $(1)$:

$2x^3=x^2+1\Leftrightarrow 2x^3-x^2-1=0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x-1)+(x-1)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x+1)=0$

Dễ thấy $2x^2+x+1>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$ (thỏa mãn)

Nếu $2xy+x+y=0\Leftrightarrow 2xy=-(x+y)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow 2xy(x+y)=x^2+y^2+2$

$\Leftrightarrow -(x+y)^2=x^2+y^2+2$ (vô lý vì $VT\leq 0$ còn $VP>0$)

Vậy.......

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 13:04

Lời giải:

Lấy PT $(1)-(2)$ theo vế ta có:

$y^3-x^3=x^3-y^3-4(x^2-y^2)+7(x-y)$

$\Leftrightarrow 2(x^3-y^3)-4(x^2-y^2)+7(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)[2(x^2+xy+y^2)-4(x+y)+7]=0$

Thấy rằng:

$2(x^2+xy+y^2)-4(x+y)+7=(x+y-2)^2+3+x^2+y^2>0$ với mọi $x,y$

Do đó $x-y=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT $(1)$:

$x^3=x^3-4x^2+7x$

$\Leftrightarrow -4x^2+7x=0$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=\frac{7}{4}$ (tương ứng)

Vậy.....

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN