giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\\y^3+x^2=2x\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\\y^3+x^2=2x\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\left(1\right)\\y^3+x^2=2x\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1)-(2), ta được:
\(x^3-y^3-\left(x^2-y^2\right)+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-x-y+2\right)=0\)
*Với \(x=y\). Từ (1) ta có: \(x^3+x^2-2x=0\)
Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
*Với \(x^2+xy+y^2=x+y-2\). Đặt \(S=x+y;P=xy\).
Khi đó ta có: \(S^2-S+2=P\left(1'\right)\)
Lấy (1)+(2) ta được:
\(x^3+y^3+x^2+y^2=2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow S^3-3SP+S^2-2P=2S\left(2'\right)\)
Thay (1') vào (2'), ta được:
\(S^3-3S\left(S^2-S+2\right)+S^2-2\left(S^2-S+2\right)=2S\)
\(\Leftrightarrow-2S^3+2S^2-6S-4=0\)
\(\Leftrightarrow S^3-S^2+3S+2=0\)
Đến đây mình bấm máy và nó ra nghiệm xấu ;)) bạn thử kiểm tra lại cách rút gọn của mình xem có gì sai sót nhé. Từ đây ta tìm được S, rồi tìm được P và sử dụng định lí Viète đảo để tính x,y nhé.
Giúp mình với ạ
a.
Xét pt:
\(x^3-y=x\left(xy-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+x-x^2y-y=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Thế vào pt dưới:
\(x^4-7x^2+4x+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
b.
Xét pt: \(2x^3+x=2x^2y+y\)
\(\Leftrightarrow x\left(2x^2+1\right)=y\left(2x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt dưới:
\(\left(4x+3\right)^2\left(2x+1\right)\left(x+1\right)=810\)
\(\Leftrightarrow\left(16x^2+24x+9\right)\left(2x^2+3x+1\right)=810\)
Đặt \(2x^2+3x+1=t\Rightarrow16x^2+24x+9=8t+1\)
Pt trở thành:
\(\left(8t+1\right)t=810\Leftrightarrow8t^2+t-810=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=10\\t=-\dfrac{81}{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2+3x+1=10\\2x^2+3x+1=-\dfrac{81}{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
giải pt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{10-x}=x^2-7x+11\)
đk -3 =< x =< 10
\(\sqrt{x+3}-2+\sqrt{10-x}-3=x^2-7x+6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+3-4}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{10-x-9}{\sqrt{10-x}+3}=\left(x-6\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{1-x}{\sqrt{10-x}+3}=\left(x-6\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{10-x}+3}-x+6\ne0\right)=0\Leftrightarrow x=1\)(tm)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^3=2\\x^3+y^2=2\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m+1\\x^2y+y^2x=3m-5\end{matrix}\right.\) có 1 no duy nhất
tìm m để hệ pt có 1 no duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m+1\\xy\left(x+y\right)=3m-5\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3=2x+y\\y^3=2y+x\end{matrix}\right.\)
Lần lượt cộng vế với vế và trừ vế cho vế của 2 pt ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=3x+3y\\x^3-y^3=x-y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-3\right)=0\\\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=0\)
Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x^2+xy+y^2-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-x\\x^2-x^2+x^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;1\right);\left(1;-1\right)\)
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2-3=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x^2+y^2-3=0\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)\)
TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2-3=0\\x^2+xy+y^2-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2-3xy-3=0\\\left(x+y\right)^2-xy-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2-3xy-3=0\\2xy+2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-1\\x+y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;1\right);\left(1;-1\right)\)
Lấy PT(1) trừ PT(2) ta có:
Khi đó ta xét 2TH sau:
TH1:
Thay vào PT ban đầu:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x-y=0\\y^3=2y+x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x-y=0\\y^3-2y-x=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^3+2y^3-3y=0\\y^3-2y-x=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x^2+y^2=8\\xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)=12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+x^2+y^2=8\\\left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=12\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+x\\v=y^2+y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=8\\uv=12\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, u và v là nghiệm của:
\(t^2-8t+12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}u=2\\v=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}u=6\\v=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=2\\y^2+y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=6\\y^2+y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow...\)