Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

`{(x+y=3),(-mx-y=2m):}`

`<=>{(x=3-y),(-m(3-y)-y=2m):}`

`<=>{(x=3-y),(my-3m-y=2m):}`

`<=>{(x=3-y),(m(y-1)=5m):}`

Hệ phương có 1 nghiệm

`<=>m\ne0`

Hệ phương trình vô nghiệm(ax=b vô nghiệm khi a=0 và `b\ne0`)

`<=>{(m=0),(m\ne0):}` vô lý

Hệ phương trình có vô số nghiệm(ax=b vô số nghiệm khi a=0 và `b=0`)

`<=>{(m=0),(m=0):}<=>m=0`

a: Vì m/1<>-m/1

neen hệ luôn có nghiệm

b: mx-y=2 và x+my=3

=>y=mx-2 và x+m(mx-2)=3

=>y=mx-2 và x(1+m^2)=5

=>x=5/m^2+1 và y=5m/m^2+1-2=(5m-2m^2-2)/m^2+1=(-2m^2+5m-2)/m^2+1

x>0; y>0

=>5>0 và -2m^2+5m-2>0

=>2m^2-5m+2<0

=>2m^2-4m-m+2<0

=>(m-2)(2m-1)<0

=>1/2<m<2

Gọi thời gian chảy riêng của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là a,b

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{3}{a}-\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{14}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=21\\b=28\end{matrix}\right.\)

d: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m+1<0

=>m<-1/2

e: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-6\right)^2-4\left(2m+1\right)>=0\\2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}36-8m-4>=0\\m>-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>-8m+32>=0 và m>-1/2

=>m<=4 và m>-1/2

f: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}-8m+32>=0\\2m+1>0\\\dfrac{-\left(-6\right)}{1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< m< =4\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=-1\\x-2y=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=-2\\x-2y=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=5\\x-2y=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1-2y=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\2y=-6\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy `(x,y)=(1,-3)`

=>1/2x-3/4y-1/5x-1/5y+1/5=2x-y-1 và 4(x+y-1)+3(4x-y-2)=2(2x-y-3)

=>-17/10x+1/20y=-6/5 và \(4x+4y-4+12x-3y-6=4x-2y-6\)

=>-17/10x+1/20y=-6/5 và 12x+3y=4

=>x=2/3; y=-4/3

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-5x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-15x+3y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow17x=m+3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m+3}{17}\)

để x>0 \(\Leftrightarrow\dfrac{m+3}{17}>0\Leftrightarrow m+3>0\Leftrightarrow m>-3\)

còn y> gì bạn cũng làm như zậy nhé :))

\(x^2+3x+m-1=0\left(1\right)\)

Thay \(m=3\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow x^2+3x+3-1=0\)

\(\Rightarrow x^2+3x+2=0\)

\(\Rightarrow x^2+x+2x+2=0\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{-2;-1\right\}\) khi \(m=3\)

\(ab=\dfrac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{2}=\dfrac{13^2-89}{2}=\dfrac{80}{2}=40\)

\(P=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=13^3-3\cdot40\cdot13=637\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=13\\a^2+b^2=89\end{matrix}\right.\)

\(\left(a+b\right)^2=169\)

\(a^2+2ab+b^2=169\)

\(ab=40\)

\(P=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=13^3-3.40.13=637\)

a) Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+4y=10-0\\x+0y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận trường hợp này).

Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\-mx-m^2y=-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4-m^2\right)y=10-5m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Biện luận:

Với \(m=2\) \(\left(1\right)\Rightarrow0y=0\) (phương trình vô số nghiệm),

Với \(m=-2\Rightarrow0y=20\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(m\ne\pm2\Rightarrow y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}=\dfrac{5\left(2-m\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\dfrac{5}{m+2}\)

Vì \(y>0\Rightarrow\dfrac{5}{m+2}>0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2\)

Thay \(y=\dfrac{5}{m+2}\) vào (2) ta được:

\(x+\dfrac{5m}{m+2}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{8-m}{m+2}\)

Vì x>0 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}8-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow-2< m< 8\)

Vì m là số nguyên và \(m\ne2\) nên \(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho \(x>0,y>0\).

b) Với \(m=0\) ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4;\dfrac{5}{2}\right)\) (loại).

Với \(m=2\). Ta có hệ vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì y là số nguyên dương nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\2-\dfrac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\x< 4\end{matrix}\right.\). Mặt khác x>0.

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
Với \(m\ne\pm2\). Ta có \(y=\dfrac{5}{m+2}\).

Vì x,y là các số nguyên dương nên x,y>0. Nên:

\(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) (1')

Mặt khác: \(5⋮\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow m+2\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\) (2')

Từ (1') ,(2') \(\Rightarrow m\in\left\{-1;3\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{-1;2;3\right\}\) thì hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với x,y là số nguyên dương.