Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\left(ngày;x>0\right)\)

Gọi thòi gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\left(ngày;y>0\right)\)

Trong 1 ngày , người thứ nhất làm được : \(\dfrac{1}{x}\) ( công việc ) 

Trong 1 ngày, người thứ hai làm được : \(\dfrac{1}{y}\) ( công việc ) 

Trong 1 ngày, cả hai làm được \(\dfrac{1}{2}\) ( công việc ) 

⇒ Ta có phương trình : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

Vì người thứ nhất làm 4 ngày rồi nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm công việc trong 1 ngày thì xong công việc nên ta có phương trình : \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\) ta có hệ phương trình : 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=3\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy nếu làm riêng, người thợthứ nhất phải làm trong 6 ngày, người thợ thứ hai làm trong 3 ngày thì sơn xong ngôi nhà.

Δ=4^2-4*(-7)*(-3)=16-4*21=16-84=-68<0

=>PTVN

∆´ = 2² - (-7).(-3)

= 4 - 21

= -17 < 0

Vậy S = ∅

Gọi vận tốc ô tô 2 là x

=>Vận tốc ô tô 1 là x+10

Theo đề, ta có: 6x=5(x+10)

=>6x=5x+50

=>x=50

=>Vận tốc ô tô 1 là 60km/h

Gọi khoảng cách AB là x

Vận tốc thực ko đổi

=>Vận tốc từ B về A là 30km/h

Theo đề, ta có: x/33+x/27=2/3

=>x=99/10

Gọi khoảng cách giữa A và B là \(x\left(km\right)\)
Khi đó bạn sẽ có 2 phương trình theo đề bài:
Thời gian khi xuôi dòng từ A đến B là: \(t_1=\dfrac{x}{\left(30+3\right)}\) 
Thời gian khi ngược dòng từ B về A là: \(t_2=\dfrac{x}{\left(30-3\right)}\)
Mà thời gian khi xuôi dòng ít hơn thời gian khi ngược dòng là \(\dfrac{2}{3}\) giờ
\(t_1+\dfrac{2}{3}=t_2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\left(30+3\right)}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{\left(30-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{33}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{27}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{33}+\dfrac{22}{33}=\dfrac{x}{27}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+22}{33}=\dfrac{x}{27}\)

\(\Leftrightarrow27\left(x+22\right)=33x\)

\(\Leftrightarrow27x+594=33x\)

\(\Leftrightarrow594=33x-27x=6x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{594}{6}=99\left(km\right)\)
Vậy quãng đường AB có độ dài 99km

a: Khi x=2 thì pt sẽ là:

2^2-2m*2-4m^2-5=0

=>-4m^2-5-4m+4=0

=>-4m^2-4m-1=0

=>m=-1/2

x1+x2=2m=-1

=>x2=-1-2=-3

b: a*c=-4m^2-5<=-5<0 với mọi m

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

c: B=(x1+x2)^2-3x1x2

=(2m)^2-3(-4m^2-5)

=4m^2+12m^2+15

=16m^2+15>=15

Dấu = xảy ra khi m=0

\(x^2-2mx-4m^2-5=0\) \(\left(1\right)\)

\(a,\) Thay \(x_1=2\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2^2-2.2m-4m^2-5=0\)

\(\Rightarrow-4m^2-4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Thay \(m=-\dfrac{1}{2}\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2.\left(-\dfrac{1}{2}\right)x-4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-5=0\)

\(\Rightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Để pt luôn có nghiệm thì 

\(\)\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(-4m^2-5\right)\)

\(=4m^2+16m^2+20\)

\(=20m^2+20>0\forall m\)

Vậy pt luôn có nghiệm 

a: =>(x^3+8)(x^3+4)=0

=>x^3=-8 hoặc x^3=-4

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\sqrt[3]{-4}\end{matrix}\right.\)

b: =>\(\sqrt{2x^2-6x\sqrt{2}+9}=x-2\sqrt{2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\sqrt{2}\\2x^2-6x\sqrt{2}+9=x^2-4\sqrt{2}x+8\end{matrix}\right.\)

=>x>=2căn 2 và x^2-2xcăn2+1=0

=>\(x\in\varnothing\)

Gọi \(a,b\) lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước \(\left(a>b>0\right)\).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng khúc sông \(60km\) là : \(\dfrac{60}{a+b}\left(h\right)\).

Thời gian ca nô đi ngược dòng \(48km\) là : \(\dfrac{48}{a-b}\left(h\right)\).

Theo đề bài thì \(\dfrac{60}{a+b}+\dfrac{48}{a-b}=6\left(1\right)\).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng \(40km\) là : \(\dfrac{40}{a+b}\left(h\right)\).

Thời gian ca nô đi ngược dòng \(80km\) là : \(\dfrac{80}{a-b}\left(h\right)\)

Cũng theo đề bài, ta có : \(\dfrac{40}{a+b}+\dfrac{80}{a-b}=7\left(2\right)\).

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình : 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{60}{a+b}+\dfrac{48}{a-b}=6\\\dfrac{40}{a+b}+\dfrac{80}{a-b}=7\end{matrix}\right.\left(I\right)\)

Đặt : \(x=\dfrac{20}{a+b}\) và \(y=\dfrac{16}{a-b}\). Hệ \((I)\) được viết lại thành : 

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+3y=6\\2x+5y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\2x+5y=7\end{matrix}\right.\)

Hay : \(\left\{{}\begin{matrix}5x+5y=10\\2x+5y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=3\\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{20}{a+b}=1\\\dfrac{16}{a-b}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=20\\a-b=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=36\\a+b=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=18\\b=2\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy : Vận tốc riêng của ca nô là \(18(km/h)\) và vận tốc dòng nước là \(2(km/h).\)

Gọi vận tốc riêng của cano là x (km/h) với x>0

Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h) với y>0 và y<x

Vận tốc cano khi xuôi dòng: \(x+y\) (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng: \(x-y\) (km/h)

Do cano xuôi dòng 60km và ngược dòng 48km hết 6h nên ta có:

\(\dfrac{60}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=6\)

Do cano xuôi dòng 40km và ngược dòng 80km thì hết 7h nên ta có:

\(\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{80}{x-y}=7\)

Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{60}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=6\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{80}{x-y}=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{120}{x+y}+\dfrac{96}{x-y}=12\\\dfrac{120}{x+y}+\dfrac{240}{x-y}=21\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{120}{x+y}+\dfrac{96}{x-y}=12\\\dfrac{144}{x-y}=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=16\\\dfrac{120}{x+y}+\dfrac{96}{16}=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=16\\x+y=20\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=18\\y=2\end{matrix}\right.\)

Gọi chiều rộng mảnh đất ban đầu là x (m) với x>0

Gọi chiều dài mảnh đất ban đầu là y (m) với y>8

Do diện tích mảnh đất là 192 \(m^2\) nên: \(xy=192\)

Chiều dài mảnh đất sau khi giảm 8m: \(y-8\left(m\right)\)

Chiều rộng mảnh đất sau khi tăng 4m: \(x+4\left(m\right)\)

Diện tích mảnh đất lúc sau: \(\left(x+4\right)\left(y-8\right)\)

Do diện tích mảnh đất ko đổi nên: \(\left(x+4\right)\left(y-8\right)=192\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=192\\\left(x+4\right)\left(y-8\right)=192\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=192\\xy-8x+4y-32=192\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=192\\2x-y+8=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2x+8\right)=192\\y=2x+8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+8x-192=0\\y=2x+8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=24\end{matrix}\right.\)

Gọi vận tốc dự định là x

Theo đề, ta có: \(\dfrac{90}{x-10}-\dfrac{90}{x}=\dfrac{3}{4}\)

=>90x-90(x-10)=3x(x-10)

=>x(x-10)=30x-30(x-10)=300

=>x^2-10x-300=0

=>x=60

Gọi số bạn khối 8 và khối 9 lần lượt la a,b

Theo đề, ta có: a+b=56 và 4a+5b=254

=>a=26 và b=30

Lời giải:
Gọi số học sinh khối 8 và 9 lần lượt là $a,b$ (hs)

Theo bài ra ta có:

$a+b=56$

$4a+5b=254$

$\Rightarrow (4a+5b)-4(a+b)=254-4.56$

$\Rightarrow b=30$

$a=56-b=56-30=26$ 

Vậy.......