Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Hỏi đáp

m²-m-1=m²-\(2.\dfrac{1}{2}.m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-1\)

=\(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{-5}{4}\)

Dau bang xay ra khi : \(m-\dfrac{1}{2}=0\)

=> m=1/2

Vậy GTNN của biểu thức là : -5/4 khi m=1/2

\(m^2-m-1=\left(m^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot m+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}-1=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}\ge-\dfrac{5}{4}\)

đẳng thức xảy ra khi m = 1/2

Lời giải:

Xét PT \(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(2y).x+(2y^2+3y-4)=0\)

Coi PT trên là phương trình bậc 2 ẩn x, để pt có nghiệm thì:

\(\Delta'=y^2-(2y^2+3y-4)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -y^2-3y+4\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (1-y)(4+y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -4\leq y\leq 1\). Vì \(y\in\mathbb{Z}\Rightarrow y\in\left\{-4; -3;-2;-1;0;1\right\}\)

Thay từng TH vào pt ban đầu ta thu được:

+) \(y=-4\rightarrow x=4\)

+) \(y=-3\rightarrow x=1;x=5\)

+) \(y=-2\rightarrow x\not\in\mathbb{Z}\)(loại)

+) \(y=-1\rightarrow x\not\in\mathbb{Z}\) (loại)

+) \(y=0\rightarrow x=\pm 2\)

+) \(y=1\rightarrow x=-1\)

Người hay giúp bạn khác trả lời bài tập sẽ trở thành học sinh giỏi. Người hay hỏi bài thì không. Còn bạn thì sao?

\(a=\dfrac{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}}+\dfrac{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}}=\dfrac{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}}}+\dfrac{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}}\)

\(a=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)

\(a=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{6}{6}=1\)

Thay \(a=1\) vào pt: \(2013.1^2-2014.1+1=2013-2014+1=0\)

\(\Rightarrow a\) là một nghiệm của \(2013x^2-2014x+1=0\)

câu d.) áp dụng phương pháp cộng đại số cũng đc nhé ..!!

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=4\\x+2y=13\end{matrix}\right.\)

\(\left(=\right)\)\(\left\{{}\begin{matrix}y=-9\\x+2y=13\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left\{{}\begin{matrix}y=-9\\x-18=13\end{matrix}\right.\left(=\right)}\left\{{}\begin{matrix}y=-9\\x=31\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=5^2=25\)

\(\Rightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=25\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{25-9}{2}=8\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=64\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+10\sqrt{xyz}=64\)

Thay vào PT(3):

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{64-10\sqrt{xyz}}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Đặt \(\sqrt{xyz}=t\Rightarrow \frac{64-10t}{t^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3t^2+20t-128=0\)

\(\Rightarrow t=4\) (chọn) hoặc \(t=-\frac{32}{3}< 0\) (loại)

\(\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{4}{\sqrt{z}}\)

\(\Rightarrow 8=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(5-\sqrt{z})\)

Đặt \(\sqrt{z}=k\Rightarrow 8k=4+5k^2-k^3\)

\(\Rightarrow k^3-5k^2+8k-4=0\)

\(\Rightarrow k^2(k-1)-4(k^2-2k+1)=0\)

\(\Rightarrow (k-1)(k-2)^2=0\Rightarrow k=1; k=2\)

Nếu $k=1$ suy ra $z=1$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $x=y=4$

Nếu $k=2$ thì $z=4$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $(x,y)=(4,1)$ và hoán vị

Vậy $(x,y,z)=(4,4,1)$ và hoán vị của nó.

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

\(\dfrac{x^2-4x}{x-1}\left(x+\dfrac{x-4}{x-1}\right)=5\Leftrightarrow\dfrac{x^2-4x}{x-1}\left(\dfrac{x^2-4}{x-1}\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-4x}{x-1}\left(\dfrac{x^2-4x}{x-1}+4\right)=5\)

Đặt \(\dfrac{x^2-4x}{x-1}=a\) phương trình trở thành:

\(a\left(a+4\right)-5=0\Leftrightarrow a^2+4a-5=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-5\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=1\Rightarrow\dfrac{x^2-4x}{x-1}=1\Leftrightarrow x^2-4x=x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+1=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}\\x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=-5\Rightarrow\dfrac{x^2-4x}{x-1}=-5\Leftrightarrow x^2-4x=-5x+5\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-5=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\\x=\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm ....

Lời giải:

Sử dụng PP khai triển :

\(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a(3a+b)+b(3b+a)}\geq \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(a+b)^2\geq a(3a+b)+b(3b+a)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+6ab\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+4ab\geq 0\). Điều này luôn đúng với \(a,b\geq 0\) tuy nhiên dấu bằng không xảy ra do \(a,b\neq 0\)

Do đó: \(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}> \frac{1}{2}\)

mk nghĩ đề bài như này ms đúng chứ

\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\dfrac{1}{2}\)

vs a,b>0

cm \(vt=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{4a+3a+b}{2}+\dfrac{4b+3b+a}{2}}=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{8\left(a+b\right)}{2}}=\dfrac{1}{2}\)(dpcm)

dau = xay ra khi a=b>0

ĐK: \(x\ge0,y\ge0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=12\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=28\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=12\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)=28\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=12\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-3\sqrt{xy}\right]=28\end{matrix}\right.\)(1)

Đặt \(a=\sqrt{x}+\sqrt{y}\left(a\ge0\right)\)

b=\(\sqrt{xy}\left(b\ge0\right)\)

Vậy (1)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}ab=12\\a\left(a^2-3b\right)=28\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}ab=12\left(3\right)\\a^3-3ab=28\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (3) thay vào (4) ta được \(a^3-3.12=28\Leftrightarrow a^3=64\Leftrightarrow a=4\Leftrightarrow b=3\)

Vậy ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{xy}=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y)={(9;1);(1;9)}

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\left(1\right)\\x^2+y^2=128\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2=128\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2=256\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=256\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=256\)

Hệ phương trình tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\\\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=256\end{matrix}\right.\)(*)

Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\), (*) trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\a^4+b^4=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\\left(a^2+b^2\right)^2-2\left(ab\right)^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2\left(ab\right)^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\\left(16-2ab\right)^2-2\left(ab\right)^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\256-64ab+4\left(ab\right)^2-2\left(ab\right)^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\2\left(ab\right)^2-64ab=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\2ab\left(ab-32\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\\left[{}\begin{matrix}ab=0\\ab=32\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Tới đây Vieta đảo làm tới thôi :)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=5\left(1\right)\\x+y=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1)+(2) theo vế ta được \(\left(2x-y\right)+\left(x+y\right)=5+4\Leftrightarrow3x=9\Leftrightarrow x=3\)

Thay x=3 vào (2) được \(3+y=4\Leftrightarrow y=1\)

Vậy (x;y)=(3;1)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=7\left(3\right)\\x-y=3\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (3)+(4) theo vế ta được \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=7+3\Leftrightarrow2x=10\Leftrightarrow x=5\)

Thay x=5 vào (3) được \(5+y=7\Leftrightarrow y=2\)

Vậy (x;y)=(5;2)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4\left(5\right)\\x+y=1\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (6)-(5) theo vế ta được \(\left(x+y\right)-\left(x-2y\right)=1-4\Leftrightarrow3y=-3\Leftrightarrow y=-1\)

Thay y=-1 vào (6) được \(x+\left(-1\right)=1\Leftrightarrow x=2\)

Vậy (x;y)=(2;-1)