Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=-1\\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x}+\frac{6}{y}=-2(1)\\ \frac{9}{x}-\frac{6}{y}=15(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow \frac{17}{x}=-2+15=13\)

\(\Rightarrow x=\frac{17}{13}\)

\(\frac{2}{y}=\frac{3}{x}-5=\frac{39}{17}-5=\frac{-46}{17}\)

\(\Rightarrow y=\frac{-17}{23}\)

Vậy......

cách 1:

từ (2) ta suy ra

\(x+y+1=5-2x\)

\(x+2y=8-5x\)

thay vào, quy đồng lên, rồi giải pt bậc 2 một ẩn x

cách 2:

đặt \(a=\dfrac{x+y+1}{x+2y}\) (a khác 0)

(1) trở thành: \(a+\dfrac{1}{a}=2\)

tới đây dễ rồi, tìm ra a rồi kết hợp (2) để giải

Lời giải:

Do \(-2\leq x,y\leq 1\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} (x+2)(x-1)\leq 0\\ (y+2)(y-1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+x-2\leq 0\\ y^2+y-2\leq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+x-2+y^2+y-2\leq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\leq 4-(x+y)=4\)

Ta có đpcm.

Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\mx=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{5}{m}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{5}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{\left|\dfrac{5}{m}\right|^2}+\dfrac{1}{\left|\dfrac{5}{m+1}\right|^2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{25}{\left|m^2\right|}}+\dfrac{1}{\dfrac{25}{\left(m+1\right)^2}}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{25}+\dfrac{\left(m+1\right)^2}{25}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2+2m+1}{25}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow16m^2+16m+8-25=0\)

\(\Leftrightarrow16m^2+16m-17=0\)

hay \(m\in\left\{\dfrac{-2+\sqrt{21}}{4};\dfrac{-2-\sqrt{21}}{4}\right\}\)

(1)<=>x^2+y^2+(x+y)=8

<=>(x+y)^2+(x+y)=2xy+8

(2x+2y+1)^2=8xy+33(a)

(2)<=>(2x+2y+1)=-2xy+11(b)

(a)+4(b);

(2x+2y+1)^2+4(2x+2y+1)=77

<=>(2x+2y+3)^2=81

|2x+2y+3|=9

x+y={-6;3}=>xy={11;2}

z^2+6z+11=0; ∆1: =9-11<0 vn

z^2-3z+2=0(a+b+c=0)

z{1,2}

(x,y)=(1,2);(2,1)

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x(x+1)+y(y+1)=8\\ x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy+x+y=8\\ xy=5-(x+y)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2-2[5-(x+y)]+x+y=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2+3(x+y)-18=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+6)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=3\rightarrow xy=2(1)\\ x+y=-6\rightarrow xy=11(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1), theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt: \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)\) và hoán vị

Với (2) , theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt \(x^2+6x+11=0\), pt này vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$

Vậy $(x,y)=(1,2)$ và hoán vị

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

Đặt : \(x+y=S\) ; \(xy=P\) thì phương trình trở thành :

\(\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\left(1\right)\\S+P=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\\2S+2P=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow S^2+3S=18\)

\(\Leftrightarrow S^2+3S-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-3\right)\left(S+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S-3=0\\S+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=3\\S=-6\end{matrix}\right.\)

Thay \(S=3\) và \(S=-6\) vào phương trình 2 thì ta có :

\(\left[{}\begin{matrix}S=3\Rightarrow P=2\\S=-6\Rightarrow P=11\end{matrix}\right.\)

Khi \(S=3\) và \(P=2\) :

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Khi\(S=-6\) và \(P=11\) :

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-6\\xy=11\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x+11=0\)

Phương trình vô nghiệm .

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\\\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Để pt có thể có hai nghiệm thì trước hết $k\neq 0$

PT có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta'=1-k^3>0\Leftrightarrow k< 1\)

Áp dụng định lý Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2}{k}\\ x_1x_2=k\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow (x_1^2+x_2^2+2x_1x_2)-8x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-8x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{k^2}-8k=12\)

\(\Leftrightarrow 2k^3+3k^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} k=\frac{1}{2}\\ k=-1\end{matrix}\right.\). Kết hợp với điều kiện ban đầu của $k$ suy ra \(k=-1\)

a/ pt hoành độ giao điểm: x^2 = 2x + 3

<=> x^2 - 2x - 3 = 0 (*)

<=> x = 3 hoặc x =-1

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> (*) có 2 nghiệm phân biệt

x^2 - 2x - 3 = 0

<=> x = 3 hoặc x =-1

vậy (d) và (P) có 2 điểm chung phân biệt

b/ gọi tọa độ điểm A (x_A;yA); B(x_B;y_B)

theo a: x_A; x_B lần lượt là nghiệm của pt(*)

x_A = 3 => y_A = 9 => A(3;9)

x_B = -1 => y_B = 1 => B(-1;1)

O(0;0)

ta có: \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(xB-xA\right)\left(yO-yA\right)-\left(xO-xA\right)\left(yB-yA\right)\right|\)

= \(\dfrac{1}{2}\left|\left(-1-3\right)\left(0-9\right)-\left(0-3\right)\left(1-9\right)\right|=6\)

ko chắc nữa!