Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\)(ĐK: \(x,y\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\right)^2=1\\\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}+1\right)^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1+2\sqrt{x\left(y+1\right)}=1\\y+x+1+2\sqrt{y\left(x+1\right)}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1+2\sqrt{x\left(y+1\right)}-y-x-1-2\sqrt{y\left(x+1\right)}=0\\x+y+1+2\sqrt{x\left(y+1\right)}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x\left(y+1\right)}-2\sqrt{y\left(x+1\right)}=0\\x+y+1+2\sqrt{x\left(y+1\right)}=1\end{matrix}\right.\)(*)

Giải (*): \(2\sqrt{x\left(y+1\right)}-2\sqrt{y\left(x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x\left(y+1\right)}=2\sqrt{y\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(y+1\right)}=\sqrt{y\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x\left(y+1\right)}\right)^2=\left(\sqrt{y\left(x+1\right)}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)=y\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+x=xy+y\)

\(\Leftrightarrow xy+x-xy-y=0\)

\(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y+1+2\sqrt{x\left(y+1\right)}=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=y\) vào (1) ta có:

\(y+y+1+2\sqrt{y\left(y+1\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow2y+2\sqrt{y^2+y}=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{y^2+y}=-2y\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{y^2+y}\right)^2=\left(-2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(y^2+y\right)=4y\)

\(\Leftrightarrow4y^2+4y=4y\)

\(\Leftrightarrow4y^2=0\Leftrightarrow y^2=0\Leftrightarrow y=0=x\)

Vậy HPT có nghiệm là \(\left(0;0\right)\)

Lời giải:

Gọi độ dài chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,b$ \((a>b>0)\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(b-3)=ab-30\\ (a-4)(b+5)=ab+10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab-3a+2b-6=ab-30\\ ab+5a-4b-20=ab+10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3a+2b=-24\\ 5a-4b=30\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=18\\ b=15\end{matrix}\right.\) (hoàn toàn t.m)

Do đó diện tích ban đầu là:

\(S=ab=18.15=270\) (mét vuông)

ĐK : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\y\ge-3\end{matrix}\right.\) Đặt : \(\sqrt{x+3}=\sqrt{a}\) , \(\sqrt{y+3}=\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}=4\\\sqrt{a+5}+\sqrt{b+5}=6\end{matrix}\right.\)

Giải như bình thường nha bạn !

Lời giải:

Tìm giá trị nhỏ nhất

Ta thấy: \(x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\)

\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow 2A\geq 1\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Tìm GTLN:

Thay $y=1-x$ ta có: \(A=x^2+(1-x)^2=1+2x^2-2x\)

\(=1+2x(x-1)\)

Vì $y\geq 0$ nên \(x=1-y\leq 1\)

Vậy \(0\leq x\leq 1\Rightarrow x(x-1)\leq 0\)

\(\Rightarrow A=1+2x(x-1)\leq 1+2.0=1\)

Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.

Bài 1:

ta có: C=\(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5}{x}=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5-5x+5x}{x}=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}+\dfrac{5x}{x}=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}+5\)

Vì 0<x<1==> \(\dfrac{x}{1-x}>0,\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}>0\)

Asp dụng BĐT coossi cho 2 số dg ta đc

\(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}>=2.\sqrt{\dfrac{x}{1-x}.\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}}\)=2\(\sqrt{5}\)

==> C >= 2\(\sqrt{5}+5\)

Dấu ''='' xảy ra <=>\(\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{5.\left(1-x\right)}{x}< =>x^{2^{ }}=5.\left(1-x\right)^2\)

<=> x=\(\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}\)

Vậy..............

bài 2 :

ta có A= -x+2.\(\sqrt{\left(x-3\right).\left(1-2x\right)}\)

= [ (x-3) + 2\(\sqrt{\left(x-3\right).\left(1-2x\right)}\)+( 1-2x)] +2

= ( \(\sqrt{x-3}+\sqrt{1-2x}\))²+2

Nhận thấy( \(\sqrt{x-3}+\sqrt{1-2x}\))²>= 0

==> A >= 2

dấu ''='' xáy ra <=>( \(\sqrt{x-3}+\sqrt{1-2x}\))²=0

<=> \([^{x=3}_{x=\dfrac{1}{2}}\)

vậy..............

có bạn nha

Ta lấy pt thứ 2 cộng 2 lần với pt thứ nhất ta được:

\(x^2+2xy+y^2+4x-4y+4=0\)

Hay: \(\left(x-y+2\right)^2=0\)

Ta suy ra \(y=x+2\). Thay trở lại pt thứ nhất của hệ ta được:

\(x^2-2x\left(x+2\right)+x-2\left(x+2\right)+3=0\)

Trương đương với: \(x^2+5x+1=0\)

Vì vậy có nghiệm: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\).

Do đó: \(y=x+2=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}\)

Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(\frac{-5+\sqrt{21}}{2};\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right);\left(\frac{-5-\sqrt{21}}{2};\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\right)\)