Hệ có chứa một phường trình đẳng cấp (thuần nhất)

ntkhai0708
23 tháng 3 lúc 12:35

a, Với $m=0$ phương trình $(1)$ trở thành:

$|x^2-2x|=x+1$

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x=x+1\\x^2-2x=-x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x=1\\x^2-x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2-12x+9=13\\\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2=13\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}\\x=\dfrac{-\sqrt{13}+3}{2}\end{matrix}\right.\)

b, $pt(1)⇔$ \(\left[{}\begin{matrix}x^2-2x+m=x+1\\x^2-2x+m=-x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+m-1=0\\x^2-x+m+1=0\end{matrix}\right.\)

Nên để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì 2 phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt tức $\triangle$ mỗi phương trình phải $>0$

tức là \(\left[{}\begin{matrix}\left(-3\right)^2-4.1.\left(m-1\right)>0\\\left(-1\right)^2-4.1\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m< 5\\4m< -3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{-3}{4}\)

Vậy $m<\dfrac{-3}{4}$ t/m đề 

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 2 lúc 20:42

ĐKXĐ: ...

Với \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) ko phải nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{2}{\sqrt{y}}\\2+\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\end{matrix}\right.\)

Lần lượt cộng vế với vế và trừ vế cho vế 2 pt ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\\\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\end{matrix}\right.\)

Nhân vế với vế:

\(\dfrac{2}{2x+y}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{2x+y}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+xy-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

Bình luận (1)
Hồng Phúc
19 tháng 12 2020 lúc 19:45

18.

Hình vẽ:

\(AH^2=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=AM.AN.cosMAN=AM.AN.cos0^o=AM.AN\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AH}\Rightarrow\Delta ANH\sim\Delta AHM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AHM}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta ANH\) vuông tại \(N\)

\(\Rightarrow N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
19 tháng 12 2020 lúc 21:22

19.

a, Ta có \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}=OM.OA.cos\widehat{MOA_i}=R^2.\widehat{MOA_i}\left(i\in\left\{1;2;...;n\right\}\right)\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MOA_i}=\dfrac{1}{R^2}.\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}\)

Khi đó

\(cos\widehat{MOA_1}+cos\widehat{MOA_2}+...+cos\widehat{MOA_n}=\dfrac{1}{R^2}\overrightarrow{OM}.\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+...+\overrightarrow{OA_n}\right)=0\)

b, Theo định lí cosin:

\(cos\widehat{MOA_i}=\dfrac{OM^2+OA_i^2-MA_i^2}{2OM.OA}=\dfrac{2R^2-MA_i^2}{2R^2}=1-\dfrac{MA^2_i}{2R^2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MOA_1}+cos\widehat{MOA_2}+...+cos\widehat{MOA_n}=n-\dfrac{MA_1^2+MA^2_2+...+MA_n^2}{2R^2}=0\)

\(\Rightarrow MA_1^2+MA^2_2+...+MA_n^2=2nR^2\) có giá trị không đổi

Bình luận (0)
Hồng Phúc
19 tháng 12 2020 lúc 21:44

20.

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow AM^2=\left(1-k\right)^2.AB^2+k^2.AC^2+2\left(1-k\right).k.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=\left(1-k\right)^2.c^2+k^2.b^2+2\left(1-k\right).k.AB.AC.cos\widehat{BAC}\)

\(=b^2k^2+c^2k^2-2c^2k+c^2+2\left(k-k^2\right)bc.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=b^2k^2+c^2k^2-2c^2k+c^2+\left(k-k^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\)

\(=\left(k^2-k\right)a^2+kb^2+\left(k-1\right)^2\left(k^2+1\right)c^2\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
20 tháng 12 2020 lúc 18:21

9.

a, \(BC=\sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}\)

\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=cosA=cos90^o=0\)

\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}\right)=-cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=-cosB=-\dfrac{7\sqrt{149}}{149}\)

\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CB}\right)=cosB=\dfrac{7\sqrt{149}}{149}\)

b, \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HC}=HB.HC.cos\widehat{BHC}\)

\(=HB.HC.cos180^o\)

\(=-HB.HC=-AH^2\)

\(=-\dfrac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}=-\dfrac{4900}{149}\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
20 tháng 12 2020 lúc 18:43

10.

\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA=109\Rightarrow BC=\sqrt{109}\)

a, \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cosA=-\dfrac{35}{2}\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^2=-\dfrac{133}{2}\)

b, \(AM^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{39}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 12 2020 lúc 16:47

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

Chia 2 vế của pt cho \(\sqrt{x+1}\) ta được:

\(3\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}-4=2\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}\)

Đặt \(\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\ge0\)

\(\Rightarrow3t^2-4=2t\Leftrightarrow3t^2-2t-4=0\)

\(\Rightarrow t=...\Rightarrow x\)

Bình luận (0)
NhUng
15 tháng 2 2020 lúc 15:06

Mn chỉ giúp em với ạ

Bình luận (0)
Natsu Dragneel
15 tháng 2 2020 lúc 15:15

\(2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1+2\sqrt{x+1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Bình luận (0)
Phan Trọng Đĩnh
15 tháng 1 2020 lúc 22:19

3) ta xét phương trình thứ nhất
\(x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\)
<=>\(x-y-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)
<=>\(x-y-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=0\)
<=>\(x-y-\left(\frac{y-x}{xy}\right)=0\)
<=>\(\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\)
<=>\(x=y\) hoặc xy=-1
Với x=y thay vào phương trình thứ hai ta có
\(2x=x^3+1 \)

<=> \(x^3-2x+1=0\)
<=>\(x^3-x^2+x^2-x-x+1=0\)
<=>\(\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)
<=> \(x=1\) hoặc \(x^2+x-1=0\)
\(x^2+x-1=0\) <=> \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

hoặc \(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)
Đối với xy=-1 thì y=-1/x thay vào phương trình 2 giải bình thường

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN