Chương IV - Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Lời giải:

a)

* Nếu $m=1$. PT là pt bậc nhất \(-4x+1=0\) có nghiệm \(x=\frac{1}{4}\)

* Nếu \(m\neq 1\). PT là pt bậc 2:

\(\Delta'=(m+1)^2-m(m-1)=3m+1\)

\(+)m=\frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'=0\): PT có nghiệm duy nhất \(x=\frac{-1}{2}\)

+) \(m> \frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'>0\): PT có hai nghiệm phân biệt

+) \(m< \frac{-1}{3}\Rightarrow \Delta'< 0\): PT vô nghiệm.

b)

Theo phần a khi \(m> \frac{-1}{3}; m\neq 1\) thì pt có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m-1}\\ x_1x_2=\frac{m}{m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m-1}\\ 4x_1x_2=\frac{4m}{m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-4x_1x_2=\frac{2(m+1)-4m}{m-1}=\frac{2-2m}{m-1}=-2\)

Đây chính là biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$

--------------

Ta có:

\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\frac{4(m+1)^2}{(m-1)^2}-\frac{4m}{m-1}}=2\sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\)

Để \(|x_1-x_2|\geq 2\Leftrightarrow 2\sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\geq 2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\frac{3m+1}{(m-1)^2}}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{3m+1}{(m-1)^2}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow 3m+1\geq (m-1)^2\) (\(\forall m\neq 1, m> \frac{-1}{3})\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m\leq 0\Leftrightarrow 0\leq m\leq 5\)

Vậy để thỏa mãn đk trên thì \(\frac{-1}{3}< m\leq 5; m\neq 1\)

Ta có:a+b=3

<=>\(\left(a+b\right)^2=3^2\)

<=>\(a^2+2ab+b^2=9\)

<=>\(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\)

Vì\(a^2+b^2\)lớn hơn bằng 5 mà \(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\) nên 2ab lớn hơn hoặc bằng 4

Ta lại có:\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

=\(\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

=\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Với mọi giá trị của a;b thì:

\(\left(a^2+b^2\right)^2\)lớn hơn bằng 25;\(\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 16

=>\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 41

Hay P lớn hơn bằng 41 với mọi a;b

Để P=4 thì \(a^2+b^2=5\) và 2ab=4

Giải tìm a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41 đạt đc khi và chỉ khi a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Làm bừa chả biết đúng hay sai nữa

Ta có:

\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le2\)

Ta có:

\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)

\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)

Đặt ab = x thì ta có

\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)

\(=\left(8x^2-32x+32\right)+49-4x\)

\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x\ge49-4.2=41\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

Bạn Hung Nguyen làm đúng rồi nhé :)

Lời giải (mới :V) :

Vì a + b = 3 => \(a^2+b^2+2ab=9\Rightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=36\)

mà \(a^2+b^2\ge5\Rightarrow a^2+b^2+4\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\)

\(\Rightarrow5\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\left(1\right)\)

Ta có : \(P=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Áp dụng BĐT \(A^2+B^2\ge2AB\) ta có :

\(\left[4\left(a^2+b^2\right)\right]^2+\left[5\left(2ab\right)\right]^2\ge3\cdot4\left(a^2+b^2\right)+5\cdot\left(2ab\right)=40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow16\left(a^2+b^2\right)^2+25\left(2ab\right)^2\ge40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left(a^2+b^2\right)^2+41\left(2ab\right)^2\ge25\left(a^2+b^2\right)^2+16\left(2ab\right)^2+40\left(a^2+b^2\right)\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge\left[5\left(a^2+b^2\right)+4\left(2ab\right)^2\right]\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge41^2\)

\(\Rightarrow P\ge41\)

Vậy MinP = 41 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2=5\\4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)