Bài 1: Hàm số y = ax^2 (a khác 0)

6:

a: =>(x-2)(x+2)=0

=>x=2 hoặc x=-2

b: =>x(x+4)=0

=>x=0 hoặc x=-4

c: =>(x-1)(x-4)=0

=>x=1 hoặc x=4

a: Thay x=-2 và y=8 vào (P), ta được:

a*(-2)^2=8

=>a*4=8

=>a=2

b: y=2x^2

c: y=2x^2

f(-1/2)=2*(-1/2)^2=2*1/4=1/2

=>B(-1/2;1/2)

F(2)=2*2^2=8

=>C(2;8)

Lời giải:

Vì \(x^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{Z}\) nên:

\(y^2=x^4+x^2+1\geq x^4+0+1>x^4\)

\(y^2=x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2\leq (x^2+1)^2\)

Vậy \(x^4< y^2\leq (x^2+1)^2\Leftrightarrow (x^2)^2< y^2\leq (x^2+1)^2\)

Theo định lý kẹp suy ra \(y^2=(x^2+1)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+1=(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1\)

\(\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y^2=0+0+1=1\)

\(\Rightarrow y=\pm 1\)

Vậy \((x;y)=(0; \pm 1)\)

a) \(\left(x^2-4\right)-\left(x-2\right)\left(3-2x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\left(3-2x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x+2-3+2x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\)

b) ĐKXĐ: x ≠ 5; x ≠ -5

Với điều kiện trên ta có:

\(\dfrac{x+5}{x^2-5x}-\dfrac{x-5}{2x^2+10x}=\dfrac{x+25}{2x^2-50}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+5}{x\left(x-5\right)}-\dfrac{x-5}{2x\left(x+5\right)}-\dfrac{x+25}{2\left(x^2-25\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+5}{x\left(x-5\right)}-\dfrac{x-5}{2x\left(x+5\right)}-\dfrac{x+25}{2\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0\)

\(\Rightarrow2\left(x+5\right)^2-\left(x-5\right)^2-x\left(x+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+20x+50-x^2+10x-25-x^2-25x=0\)

\(\Leftrightarrow5x-25=0\)

\(\Leftrightarrow5x=25\)

\(\Leftrightarrow x=5\)(Không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅

c) ĐKXĐ: x ≠ 1

Với điều kiện trên ta có:

\(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3x^2}{x^3-1}=\dfrac{2x}{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3x^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\dfrac{2x}{x^2+x+1}=0\)

\(\Rightarrow x^2+x+1-3x^2-2x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1-3x^2-2x^2+2x=0\)

\(\Leftrightarrow-4x^2+3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow-4x^2+4x-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow-4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(-4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\-4x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(Khôngthoảman\right)\\x=-\dfrac{1}{4}\left(Thỏamãn\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\)

Lời giải:

Ta có:

\(M=x^2-5x+y^2+xy-4y+2014\)

\(\Leftrightarrow x^2+x(y-5)+(y^2-4y+2014-M)=0\)

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $x$. Vì pt xác định nên:

\(\Delta=(y-5)^2-4(y^2-4y+2014-M)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 4M\geq 3y^2-6y+8031\)

Mà \(3y^2-6y+8031=3(y-1)^2+8028\geq 8028\)

\(\Rightarrow 4M\geq 8028\Leftrightarrow M\geq 2007\)

Vậy $M_{\min}=2007$ khi $y-1=0$ hay $y=1$ kéo theo $x=2$

Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên ta có:

2=a.0+b \(\Rightarrow b=2\)

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y=ax+2

(d) cắt (p) tại điểm có hoành độ bằng -2 \(\Rightarrow\) Tung độ là \(\dfrac{1}{4}.\left(-2\right)^2=1\)

Thay x=-2 và y=1 vào (d) ta được:

\(1=-2a+2\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

Khi đó (d) có dạng \(y=\dfrac{1}{2}x+2\)

Phương trình \(4x^3-5x^2+1=0\left(1\right)\)

Đặt \(x^2=t\) (đk \(t\ge0\)), khi đó (1) \(\Leftrightarrow4t^2-5t+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(4t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\\4t-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) ( tmđk )

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\pm\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\left\{1;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)

2)

\(x_1=1\)

\(x_2=-1\)

\(x_3=\dfrac{1}{2}\)
\(x_4=-\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\), ta có:

\(\dfrac{1}{M}=\dfrac{a+b+2}{ab}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{ab}\)

\(\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{2}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}+1=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Cách khác bạn nhé

\(M=\dfrac{ab}{a+b+2}=\dfrac{2ab}{2\left(a+b+2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a+b+2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}=\dfrac{a+b-2}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)^2}-2}{2}\)

\(\le\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}-2}{2}=\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-2}}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{8}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)