Chương IV - Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1;-3\right)\)

Vì \(\dfrac{-3}{-1}< >\dfrac{-6}{-3}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

Ta có:a+b=3

<=>\(\left(a+b\right)^2=3^2\)

<=>\(a^2+2ab+b^2=9\)

<=>\(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\)

Vì\(a^2+b^2\)lớn hơn bằng 5 mà \(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\) nên 2ab lớn hơn hoặc bằng 4

Ta lại có:\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

=\(\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

=\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Với mọi giá trị của a;b thì:

\(\left(a^2+b^2\right)^2\)lớn hơn bằng 25;\(\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 16

=>\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 41

Hay P lớn hơn bằng 41 với mọi a;b

Để P=4 thì \(a^2+b^2=5\) và 2ab=4

Giải tìm a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41 đạt đc khi và chỉ khi a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Làm bừa chả biết đúng hay sai nữa

Ta có:

\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le2\)

Ta có:

\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)

\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)

Đặt ab = x thì ta có

\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)

\(=\left(8x^2-32x+32\right)+49-4x\)

\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x\ge49-4.2=41\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

Bạn Hung Nguyen làm đúng rồi nhé :)

Lời giải (mới :V) :

Vì a + b = 3 => \(a^2+b^2+2ab=9\Rightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=36\)

mà \(a^2+b^2\ge5\Rightarrow a^2+b^2+4\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\)

\(\Rightarrow5\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\left(1\right)\)

Ta có : \(P=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Áp dụng BĐT \(A^2+B^2\ge2AB\) ta có :

\(\left[4\left(a^2+b^2\right)\right]^2+\left[5\left(2ab\right)\right]^2\ge3\cdot4\left(a^2+b^2\right)+5\cdot\left(2ab\right)=40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow16\left(a^2+b^2\right)^2+25\left(2ab\right)^2\ge40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left(a^2+b^2\right)^2+41\left(2ab\right)^2\ge25\left(a^2+b^2\right)^2+16\left(2ab\right)^2+40\left(a^2+b^2\right)\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge\left[5\left(a^2+b^2\right)+4\left(2ab\right)^2\right]\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge41^2\)

\(\Rightarrow P\ge41\)

Vậy MinP = 41 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2=5\\4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vì (P) và (d) cắt nhau

\(\Rightarrow x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2;4\right)\\\left(-1;1\right)\end{matrix}\right.\)

Để 3 đt đi qua 1 điểm\(\Leftrightarrow\left(2;4\right)\in\left(d_1\right)\) hoặc \(\left(-1;1\right)\in\left(d_1\right)\)

Thay x=2;y=4 vào (d₁) có:

-2+m=4

\(\Leftrightarrow m=6\)

Thay x=-1;y=1 vào (d₁)

1+m=1

\(\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=0\end{matrix}\right.\) thì...

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\E=\sqrt{x-3}+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\E=x-3+3+\sqrt{x-3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\E=\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x-3}\ge0\Rightarrow\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}=3\)Đẳng thức khi x =3

GTNNE =3 khi x =3

\(x\ge3\)

\(E=x-3+\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(E=\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)

\(\sqrt{x-3}\ge0\Rightarrow E\ge\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}=\dfrac{12}{4}=3\)

GTNN E =3 khi x= 3