Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(x+1\geq 2\sqrt{x}\)

\(y+2\geq 2\sqrt{2y}\)

\(z+8\geq 2\sqrt{8z}\)

Nhân theo vế:

\((x+1)(y+2)(z+8)\geq 2\sqrt{x}.2\sqrt{2y}.2\sqrt{8z}=32\sqrt{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=8\end{matrix}\right.\) (đây chính là nghiệm của pt)

\(\left(x+1\right)\left(y+2\right)\left(z+8\right)\ge2\sqrt{x}.2\sqrt{2y}.2\sqrt{8z}=32\sqrt{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=8\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt[3]{x+7}\\b=\sqrt[3]{2-x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^3+b^3=9\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=9\) (1)

Pt đã cho tương đương: \(a^2+b^2-ab=3\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(3\left(a+b\right)=9\Rightarrow a+b=3\Rightarrow b=3-a\) (3)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(a^2+\left(3-a\right)^2-a\left(3-a\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2-6a+9-3a+a^2-3=0\) \(\Leftrightarrow3a^2-9a+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x+7}=1\\\sqrt[3]{x+7}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+7=1\\x+7=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=1\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: ....

\(VT=\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y-1+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z-2+1\right)\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y-1=1\\z-2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{3x+1}=a\\\sqrt[3]{3x-1}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^3-b^3=2\) (1)

\(a^2+b^2+ab=1\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=a-b\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3=a-b\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a-b=2\Rightarrow b=a-2\)

\(\Rightarrow a^2+\left(a-2\right)^2+a\left(a-2\right)=1\Leftrightarrow3a^2-6a+3=0\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{3x+1}=1\Rightarrow3x+1=1\Rightarrow x=0\)

giả sử 3 phương trình trên đều vô nghiệm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac< 0\\c^2-ba< 0\\a^2-cb< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2< 2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2< 0\left(vôlí\right)\)

\(\Rightarrow\) giả sử bang đầu là sai \(\Rightarrowđpcm\)

Từ pt trên ta có: \(x^2+y=\left(3-y\right)x\) (1)

Biến đổi pt dưới:

\(x^4+2x^2y+y^2+x^2y-5x^2=0\Leftrightarrow\left(x^2+y\right)^2=\left(5-y\right)x^2\) (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\left(3-y\right)^2x^2=\left(5-y\right)x^2\Leftrightarrow x^2\left(y^2-5y+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=1\\y=4\end{matrix}\right.\)

Với \(x=0\) thay vào pt đầu \(\Rightarrow y=0\)

Với \(y=1\) thay vào pt đầu: \(x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)

Với \(y=4\) thay vào pt đầu \(x^2+x+4=0\) (vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)

Để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thì Δ\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow25>0\). Vậy pt có 2 nghiệm pbiệt với mọi m.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+1+5}{2}=m+3\\x_2=\dfrac{2m+1-5}{2}=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)

\(\left|\left(m+3\right)^3-\left(m-2\right)^3\right|=50\)

\(\left|15m^2+15m+35\right|=50\)

Vì \(15m^2+15m+35>0\forall m\)

\(\Rightarrow15m^2+15m+35=50\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm5}{2}\)

Vậy với \(m\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right\}\) thì pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\).

mk tính ra delta k phụ thuộc vào m. delta ra 25

Xét \(x^2-3xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

Đơn giản rồi nhé

Không cần phức tạp như gợi ý, theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\) (1)

\(M=\left|x_1-x_2\right|\Rightarrow M^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\) (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(M^2=5^2-4.3=13\Rightarrow M=\sqrt{13}\) (do M>0)

gọi x( km/h) là van tốc xác định

y ( h) là thời gian xác định; x>0; y > 0,5

QĐ không đổi AB : xy (km)

vì vận tốc giảm 10 thì thời gian tăng 45p nên

( x -10)(y + 0,75)= xy

=> 0,75x - 10y = 7,5 (1)

vì van toc tang 10 thi thoi gian giam 30p nên: (x +10)(y - 0,5) = xy

=> -0,5x + 10y = 5 (2)

(1,2)

gọi x( km/h) là van toc xac dinh

y ( h) là thoi gian xac dinh; x>0; y > 0,5

QĐ không đổi AB : xy (km)

vì van toc giam 10 thi thoi gian tang 45p nên

( x -10)(y + 0,75)= xy

=> 0,75x - 10y = 7,5 (1)

vì van toc tang 10 thi thoi gian giam 30p nên: (x +10)(y - 0,5) = xy

=> -0,5x + 10y = 5 (2)

(1,2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0,75x-10y=7,5\\-0,5x+10y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50\\y=3\end{matrix}\right.\)

vậy ....................

@Nguyễn Việt Lâm@Truong Viet Truong@Khôi Bùi@DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG@Phùng Tuệ Minh@saint suppapong udomkaewkanjana@Nguyễn Phương Trâm

*Thay x=-1 vào \(y=-2x^2\)=\(-2\left(-1\right)^2=-2\)\(\ne2\). Vậy A không thuộc đths.

*Thay x=3 vào \(y=-2x^2=-2.9=-18\). Vậy B thuộc đths.

*Thay x=-2 vào \(y=-2x^2=-2.4=-8\). Vậy C thuộc đths.

a)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}25x+15y=40xy\left(1\right)\\24x+16y=40xy\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) trừ (2), ta được: x-y=0\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào 5x+3y=8xy ta được: \(5x+3x=8x^2\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\).\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=0\\x=y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm (0;0);(1;1).

b)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5x+5y=5xy\left(1\right)\\4x+3y=5xy\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) trừ (1) ta được: 9x-2y=0 \(\Leftrightarrow y=\dfrac{9x}{2}\)

Thay vào -x+y=xy ta được: \(-x+\dfrac{9x}{2}=x^2\)

\(\Leftrightarrow-2x+9x=2x^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=\dfrac{7}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(TM\right)\\y=\dfrac{63}{4}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm (0;0).

c) Từ 2x-y=5\(\Rightarrow y=2x-5\)

Thay vào \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y-5\right)=0\), ta được:

\(\left(3x-3\right)\left(5x-15\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=5\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\left(TM\right)\\y=5\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm (3;1).

Bài 3:

Ta chỉ cần thay giá trị tung độ, hoành độ của mỗi điểm đã cho vào pt $y=-2x^2$, nếu thỏa mãn nghĩa là điểm đó thuộc đồ thị hàm số đã cho và ngược lại.

\(2\neq -2.(-1)^2\) nên $A$ không thuộc đths

\(-18=-2.3^2\Rightarrow B\) thuộc đths

\(8\neq -2(-2)^2\) nên $C$ không thuộc đths

Bài 2:

a) Đồ thị $y=ax^2$ đi qua điểm $A(3;4,5)$, thì khi ta thay giá trị hoành độ, tung độ của $A$ vào phương trình $y=ax^2$ thì nó phải thỏa mãn. Nghĩa là: \(4,5=a.3^2\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy hàm số được xác định là $y=\frac{1}{2}x^2$

b) Tương tự: Đồ thị đi qua điểm $B(-2;1)$ suy ra \(1=a(-2)^2\Rightarrow a=\frac{1}{4}\)

Hàm số được xác định: \(y=\frac{1}{4}x^2\)