Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Lời giải:

Ta có:

Vì \(\Delta=(m+3)^2-8m=m^2-2m+9=(m-1)^2+8>0\) với mọi $m$ nên pt có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\in\mathbb{R}\)

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\ x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{(\frac{m+3}{2})^2-2m}=\frac{1}{2}\sqrt{(m+3)^2-8m}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\)

Ta thấy \((m-1)^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\)

Vậy \(A_{\min}=\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)

\(x^3-2mx^2-x^2+3mx+12x-m-12=0\)

\(\left(x-1\right)\left(2x+1\right)m+x^2\left(x-1\right)+12\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left[x^2+\left(2x+1\right)m+12\right]=0\)

\(=>\left\{{}\begin{matrix}1+\left(2.1+1\right)m+12\ne0\Rightarrow m\ne\dfrac{13}{3}\\\Delta_{\left(x\right)}=m^2-m-12>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}m< -3\\\left\{{}\begin{matrix}m>4\\m\ne\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Trước tiên để pt có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta'=2^2-(m+2)>0\Leftrightarrow m< 2\)

Áp dụng định lý Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4\\ x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=3(x_1+x_2)\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3(x_1+x_2)\)

\(\Leftrightarrow 4^2-2(m+2)=3.4\)

\(\Leftrightarrow m+2=2\Rightarrow m=0\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=0\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\), ta có:

\(\dfrac{1}{M}=\dfrac{a+b+2}{ab}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{ab}\)

\(\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{2}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}+1=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Cách khác bạn nhé

\(M=\dfrac{ab}{a+b+2}=\dfrac{2ab}{2\left(a+b+2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a+b+2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}=\dfrac{a+b-2}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)^2}-2}{2}\)

\(\le\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}-2}{2}=\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-2}}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{8}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

có nghiệm duy nhất khi \(\Delta=0\) hoặc\(\Delta'=0\) vô nghiệm khi \(\Delta< 0\)

à mà quên bạn hỏi pt bậc hai hay bậc nhất???

Lời giải:

ĐK: \(x\neq 0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\) thì pt trở thành:

\(t^2-4,5t+5=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2.\frac{9}{4}t+\left(\frac{9}{4}\right)^2-\frac{1}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow \left(t-\frac{9}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} t-\frac{9}{4}=\frac{1}{4}\\ t-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} t=\frac{5}{2}\\ t=2\end{matrix}\right.\)

Nếu \(t=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow 2x^2-5x+2=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)(x-2)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ x=2\end{matrix}\right.\)

Nếu

\(t=2\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x=1\)

Đặt : \(x+\dfrac{1}{x}=t\) ( ĐK \(t\ne0\) )

Phương trình trở thành :

\(t^2-4,5t+5=0\)

Làm như bình thường .

Câu a :

\(x-5\sqrt{x}-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+2=0\\\sqrt{x}-7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=49\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{49\right\}\)

Câu b :

\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=2\)

Đặt \(x^2+x+1=t\)

\(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\\t+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-2\end{matrix}\right.\)

Với \(t=1\) thì :

\(x^2+x+1=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Với \(t=-2\) thì :

\(x^2+x+1=-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+3=0\) ( pt vô nghiệm )

Vậy \(S=\left\{-1;0\right\}\)

Lời giải:

Để pt đã cho có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta'=25-(2m-1)>0\Leftrightarrow m< 13\)

Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=10\\ x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\sqrt{\frac{1}{x_1}}+\sqrt{\frac{1}{x_2}}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1x_2}}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}}{\sqrt{x_1x_2}}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{10+2\sqrt{2m-1}}}{\sqrt{2m-1}}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{10+2\sqrt{2m-1}}{2m-1}=\frac{16}{9}\) . Đặt \(\sqrt{2m-1}=t(t>0)\Rightarrow \frac{10+2t}{t^2}=\frac{16}{9}\)

\(\Rightarrow 16t^2-18t-90=0\)

\(\Rightarrow t=3\) (chọn) hoặc \(t=\frac{-15}{8}\) (loại)

Với \(t=3\Rightarrow 2m-1=9\Rightarrow m=5\) (thử lại thấy thỏa mãn)

Vậy.................

Gọi t/gian máy cày thứ 1 cây xong thửa ruộng 1 mình là x (h, x > 2)

vì nếu làm riêng thì máy thứ 1 cây sớm hơn mấy thứ 2 là 3 h nên t/gian máy thứ 1 cây xong thửa ruộng 1 mình là : x + 3 ( h)

1h máy thứ 1 cày được : \(\dfrac{1}{x}\) thửa ruộng

1h máy thứ 2 cày được : \(\dfrac{1}{x+3}\) thửa ruộng

1 h cả 2 máy cày được : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}\) thửa ruộng

Ta có pt : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1\cdot2\cdot\left(x+3\right)+1\cdot x\cdot2}{2x\cdot\left(x+3\right)}\) = \(\dfrac{1\cdot x\cdot\left(x+3\right)}{2x\cdot\left(x+3\right)}\)

2 . ( x + 3 ) + 2x = x . (x + 3)

2x + 6 + 2x = \(x^2\) + 3x

4x + 6 - x\(^2\) - 3x = 0

-x\(^2\) + x + 6 = 0

x\(^2\) - x - 6 = 0

x\(^2\) + 2x - 3x - 6 = 0

( x + 2 )( x - 3 ) = 0

x = -2 ( k t/m đk ) , x = 3( t/m đk )

Vậy t/gian máy thứ 1 cày xong thửa ruộng 1 mình là 3h

t/gian máy thứ 2 cày xong thửa ruộng 1 mình là : 3 + 3 = 6h