Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

\(\left[\left(\dfrac{1}{a^2+1}\right).\dfrac{1}{a^2+2a+1}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^3}.\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\right]:\dfrac{a-1}{a^3}\)

\(=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a^2+2a+1\right)}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^3}\cdot\dfrac{1+a}{a}\right)\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{a\left(a+1\right)^2}\right)\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\dfrac{a+2\left(a^2+1\right)}{a\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\dfrac{a+2a^2+2}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}\cdot\dfrac{a^2}{a-1}\)

\(=\dfrac{a^2\left(a+2a^2+2\right)}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\cdot\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{a^3+2a^4+2a^2}{\left(a^3-a^2+a-1\right)\left(a+1\right)^2}\)

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

PT trở thành \(x^2-2mt+m^2-1=0\left(1\right)\)

Để PT có 4 nghiệm thì PT phải có 2 nghiệm dương

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta`=1>0\\s=t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}=2m>0\\p=t_1.t_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1>0\end{matrix}\right.\)

Giải hệ PT trên ta được m>1.

Vậy m>1 thì PT có 4 nghiệm.

Có gì sai sót mong bạn thông cảm.

nhầm là x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃+x⁴_{4=68. giúp mình với}

xét trường hợp : TH₁: \(x\ge1\)

\(\Rightarrow\) \(\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\) \(\Leftrightarrow\) \(x+1+x-1=4\) \(\Leftrightarrow\) \(2x=4\) \(\Leftrightarrow\) \(x=2\)

TH₂ : \(x\le-1\)

vậy : \(x=-2;x=2\)

+) Xét \(x\ge1\) có:

\(x+1+x-1=4\)

\(\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) ( t/m )

+) Xét \(-1\le x< 1\) ta có:

\(x+1+1-x=4\)

\(\Leftrightarrow2=4\) ( vô lí )

+) Xét \(x< -1\) có:
\(-x-1+1-x=4\)

\(\Leftrightarrow-2x=4\)

\(\Leftrightarrow x=-2\) ( t/m )

Vậy x = 2 hoặc x = -2

bài 3

a)\(\Delta=9->\sqrt{\Delta}=3\)

\(x_1=\dfrac{5+3}{2.2}=2;x_2=\dfrac{5-3}{2.2}=\dfrac{1}{2}\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét

\(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{5m}{4}->m=2\)

c) \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=\dfrac{\left(m+3\right)^2}{4}-4.\dfrac{m}{2}=\dfrac{\left(m-1\right)^2+8}{4}\ge2\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)

Vậy MinP=\(\sqrt{2}\) <=> x=1.

Mình làm hơi tắt,có gì ko hiểu cứ bình luận phía dưới :)

theo hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2 \left(1\right)\\x_1x_2=-3-m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

từ \(\left(2\right)\) ta có : \(m=-3-x_1x_2\)

thay vào \(\left(1\right)\) ta có : \(x_1+x_2=2\left(-3-x_1x_2\right)-2\)

\(\Leftrightarrow\) \(x_1+x_2=-6-2x_1x_2-2\)

\(\Leftrightarrow\) \(x_1+x_2=-8-2x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\) \(x_1+x_2+2x_1x_2+8=0\)

vậy \(\left(x_1+x_2+2x_1x_2+8=0\right)\) là hệ thức liên hệ giữa \(x_1vàx_2\) không phụ thuộc m

Xét phương trình (1) có \(\Delta=4m^2-4\left(2m-1\right)\)

= \(4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2\)

Ta luôn có \(\left(2m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\Delta\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=2m-1\end{matrix}\right.\) (2)

* Xét TH1: \(x_1=2x_2\)

Ta có: (2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m\\2x_2^2=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\dfrac{8m^2}{9}=2m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\8m^2-18m+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\left(2m-3\right)\left(4m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

* Xét TH2: \(x_2=2x_1\)

Ta có (2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2m\\2x_1^2=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\dfrac{8m^2}{9}=2m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\8m^2-18m+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\left(2m-3\right)\left(4m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m=\dfrac{3}{2},m=\dfrac{3}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

ta có \(\Delta'=4-m\)

để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 4\)

vì x₁ là nghiệm của pt trên nên ta có

\(x_1^2-2x_1+m-3=0\Rightarrow x_1^2=2x_1-m+3\)

vậy \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=2\left(x_1-x_2\right)-m+3+m-3=2\left(x_1-x_2\right)=-12\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=-6\)

theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-6\\x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m-3=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m=-5\end{matrix}\right.\)vậy m=-5

tag tên tui vô chi biết tui mấy dạng Delta, vi ét này tui ngu mà :v

Đk: a,b>0\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\right]\)

=\(\dfrac{\left(a+b\right)^3}{4}\)(BĐT cauchy)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Leftrightarrow a+b\le2\)

dấu = xảy ra khi a=b=1

mà a,b >0 nên a+b >0

Kl:\(0< a+b\le2\)