Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-2\right)=4m^2-8m+9=4\left(m-1\right)^2+5>0\) \(\forall m\)

Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=27\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^3-3\left(m-2\right)\left(2m-1\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^3-18m^2+21m-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(8m^2-2m+17\right)=0\)

\(\Rightarrow m=2\)

\(\Delta'=m^2-\left(m^2-2m+4\right)=2m-4\ge0\Rightarrow m\ge2\)

Do \(ac=m^2-2m+4=\left(m-1\right)^2+3>0\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm cùng dấu

Để pt có 2 nghiệm ko âm thì \(x_1+x_2>0\Rightarrow2m>0\Rightarrow m>0\Rightarrow m\ge2\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-2m+4\end{matrix}\right.\)

\(P=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0\)

\(P^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\)

\(P^2=2m+2\sqrt{m^2-2m+4}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{2m+2\sqrt{m^2-2m+4}}\)

Để \(P_{min}\Rightarrow P^2=2\left(m+\sqrt{m^2-2m+4}\right)\) đạt min

Do \(m\ge2\Rightarrow m-2\ge0\Rightarrow m\left(m-2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P^2=2\left(m+\sqrt{m\left(m-2\right)+4}\right)\ge2\left(m+\sqrt{4}\right)=2\left(m+2\right)\ge2.4=8\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

\(P_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(m=2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'=\left(m-10\right)^2-2\left(m-10\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>12\\\left\{{}\begin{matrix}m< 10\\m\ne0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=\frac{2}{m-10}\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^3+x_2^3+x_1^2x_2+x_1x_2^2+4\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4\)

\(=-8+6x_1x_2-2x_1x_2+4\)

\(=4x_1x_2-4=4\left(x_1x_2-1\right)\)

\(=4\left(\frac{2}{m-10}-1\right)\)

Nếu \(m< 10\Rightarrow\frac{2}{m-10}< 0\Rightarrow\frac{2}{m-10}-1< 0\Rightarrow P< 0\)

Nếu \(m>12\Rightarrow m-10>2\Rightarrow\frac{2}{m-10}< 1\Rightarrow\frac{2}{m-10}-1< 0\Rightarrow P< 0\)

Vậy \(P< 0\) với mọi m thỏa mãn (1)

Để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thì Δ\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow25>0\). Vậy pt có 2 nghiệm pbiệt với mọi m.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+1+5}{2}=m+3\\x_2=\dfrac{2m+1-5}{2}=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)

\(\left|\left(m+3\right)^3-\left(m-2\right)^3\right|=50\)

\(\left|15m^2+15m+35\right|=50\)

Vì \(15m^2+15m+35>0\forall m\)

\(\Rightarrow15m^2+15m+35=50\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm5}{2}\)

Vậy với \(m\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right\}\) thì pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\).

mk tính ra delta k phụ thuộc vào m. delta ra 25

Câu a mình làm đc rồi , mọi người giúp mình câu b , c với

bài toán lpt thì chỉ cần lpt xong là dc 90% r pk bn? có j k hiu, mk cùng trao đổi nhé

30p = 1/2h; v₁ = 60km/h; v₂ = 60+10=70km/h; gọi AB = S

(s/2 -60)/60 +(s/2 +60)/70 = s/60 +1/2 => s =?

vt=2\(\sqrt{x}\)-1+2x-1=3\(\sqrt{x}\)-2=1

=3\(\sqrt{x}\)=3

=\(\sqrt{x}\)=1

x=1

theo minh nghĩ hơn sui

Thay m = 2 vào phương trình \(x^2+\left(2m+1\right)x-n+3=0\), ta được phương trình mới là:\(x^2+5x-n+3=0\) (*)

Xét phương trình (*) có: \(\Delta=\left(5\right)^2-4.1.\left(-n+3\right)=4n+13\)

Để phương trình (*) có ngiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow n\ge\dfrac{-13}{4}\)

Vì phương trình (*) có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et, ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1.x_2=-n+3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình (*) có nghiệm dương thì\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\x_1.x_2\ge0\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\le0\\x_1.x_2\le0\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1+x_2=-5< 0\) \(\Rightarrow x_1.x_2\le0\Leftrightarrow-n+3\le0\Leftrightarrow n\ge3\)

Ta có n nhỏ nhất là bằng 3

\(\Rightarrow\) n = 3 thì phương trình có nghiệm dương.

P/s: Mình mới học đến phần này nên nếu có sai thì mong bạn thông cảm :D

Đề:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\). Đề nhớ ghi đủ nha

Áp dụng hằng đẳng thức:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(\Leftrightarrow1-3xyz=1-xy-yz-zx\)

\(\Leftrightarrow3xyz=xy+yz+zx\)(1)

Lại có: \(1=x+y+z\)

\(\Rightarrow1=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow xyz=0\)

\(\Rightarrow\) x=0 hoặc y=0 hoặc z=0

*Xét x=0, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=1\left(3\right)\\y^2+z^2=1\\y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(3\right)\Leftrightarrow y^2+z^2+2yz=1\)

\(\Leftrightarrow1+2xy=1\)

\(\Leftrightarrow2xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Tương tự, ta giải các TH kia cũng vậy:

\(y=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(z=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình trên là:

\(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;0;0\right);\left(0;1;0\right);\left(0;0;1\right)\right\}\)

\(P=\sum\frac{ab}{c+a+b+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ac+ab}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}\right)=\frac{12}{4}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)