Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Để hàm bậc 2 có GTLN thì \(a< 0\)

\(\Rightarrow2m-1< 0\Rightarrow m< \frac{1}{2}\)

Để pt có 2 nghiệm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=\left(2m-1\right)^2-4m\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\frac{1}{4}\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

Theo Viet ta có: \(x_1+x_2=\frac{1-2m}{m}=2003\)

\(\Rightarrow1-2m=2003m\Rightarrow m=\frac{1}{2005}\) (t/m)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-2\right)=\left(2m-2\right)^2+5>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

\(x_1y_1+x_2y_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1.x_1^2+x_2.x_2^2=0\) (do \(y_1=x_1^2;y_2=x_2^2\))

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3=-x_2^3\Leftrightarrow x_1=-x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=0\)

Mà \(x_1+x_2=2m-1\Rightarrow2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)

2.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(2x^2+y^2=6\)

\(\Leftrightarrow2m^2+\left(m+1\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow3m^2+2m-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-2y=4m-2\\ x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\Rightarrow 7x=7m\) (cộng 2 PT theo vế)

$\Rightarrow x=m$

$\Rightarrow y=3x-(2m-1)=3m-(2m-1)=m+1$

Khi đó:

$2x^2+y^2=6$

$\Leftrightarrow 2m^2+(m+1)^2=6$

$\Leftrightarrow 3m^2+2m-5=0$

$(m-1)(3m+5)=0\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{-5}{3}$

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=\left(m-2\right)^2+2>0;\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2m-5=0\\x_2^2-2\left(m-1\right)x_2+2m-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2mx_1=-2x_1-2m+5\\x_2^2-2mx_2=-2x_2-2m+5\end{matrix}\right.\)

Thay vào bài toán:

\(\left(-2x_1-2m+5-x_2+2m-3\right)\left(-2x_1-2m+5-x_1+2m-3\right)=19\)

\(\Leftrightarrow\left(-2x_1-x_2+2\right)\left(-2x_2-x_1+2\right)=19\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)^2-6\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2-15=0\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2-12\left(m-1\right)+2m-20=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-13m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\frac{13}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\overset{'}{\Delta}=\left(-m\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+5=\left(m-1\right)^2+4\ge4>0\forall m\)

=> PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét, có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2\left(1-x^2_2\right)+x^2_2\left(1-x_1^2\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x^2_2-2\left(x_1x_2\right)^2=-8\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\left(1+x_1x_2\right)=-8\)

\(\Rightarrow4m^2-2\left(2m-5\right)\left(1+2m-5\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow m^2-9m+8=0\)

Ta có: \(\Delta=\left(-9\right)^2-4.8=49>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=8\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Bạn tham khảo nhé!

\(ac=-m^2+m-2< 0;\forall m\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu

\(x_1^3+x_2^3>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x^2_1-x_1x_2+x_2^2\right)>0\)

Do \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2=\left(x_1-\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3x_2^2}{4}>0;\forall x_1;x_2\) ko đồng thời bằng 0 nên BPT tương đương:

\(x_1+x_2>0\)

\(\Leftrightarrow m-1>0\Rightarrow m>1\)

ta có \(\Delta'=4-m\)

để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 4\)

vì x₁ là nghiệm của pt trên nên ta có

\(x_1^2-2x_1+m-3=0\Rightarrow x_1^2=2x_1-m+3\)

vậy \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=2\left(x_1-x_2\right)-m+3+m-3=2\left(x_1-x_2\right)=-12\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=-6\)

theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-6\\x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m-3=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m=-5\end{matrix}\right.\)vậy m=-5

b) Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình:

\(x^2=2\left(m+3\right)x-2m-5\Leftrightarrow x^2-2\left(m+3\right)x+2m+5=0\) (1)

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(2m+5\right)=m^2+6m+9-2m-5=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

mà \(\Delta'=\left(m+2\right)^2\ge0,\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(m+2\right)^2\ne0\Leftrightarrow m\ne-2\)

=> (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt khi \(m\ne-2\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=2\left(m+3\right)=2m+6\\P=x_1x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1x_2}}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1x_2}}\right)^2=\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_2+2\sqrt{x_1x_2}+x_1}{x_1x_2}=\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2m+6+2\sqrt{2m+5}}{2m+5}=\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow32m+80=18m+54+18\sqrt{2m+5}\)

\(\Leftrightarrow18\sqrt{2m+5}=14m+26\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m+5}=\frac{7}{9}m+\frac{13}{9}\) (2)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{7}{9}m+\frac{13}{9}\ge0\\m\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ge-\frac{13}{7}\)

Bình phương 2 vế của phương trình (2):

\(2m+5=\frac{49}{81}m^2+\frac{182}{81}m+\frac{169}{81}\)

\(\Leftrightarrow\frac{49}{81}m^2+\frac{20}{81}m-\frac{236}{81}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(TM\right)\\m=-\frac{118}{49}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài

May mà nghiệm đẹp, phương trình xấu quá nên còn tưởng làm sai ;w;

\(y_A-2x_A=2m+1-2m=1\)

\(\Rightarrow y_A=2x_A+1\) với mọi m hay A luôn thuộc đường thẳng cố định \(y=2x+1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B^2=m^2\\y_B=2m^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_B=2x_B^2\Rightarrow\) B luôn thuộc parabol cố định \(y=2x^2\)

Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x (km/h)

Thời gian thực tế trên đường của người đi xe máy là y(giờ)

Thời gian đến người đó đến B theo dự định là: \(\frac{120}{x}\left(h\right)\)

Người đó đến B sớm hơn dự định là \(24'=\frac{2}{5}h\) nên ta có:

\(\frac{120}{x}-y=\frac{2}{5}\) (1)

Người đó đi \(\frac{1}{3}\) quãng đường \(\frac{120}{3}=40\left(km\right)\) rồi tăng vận tốc lên 10km/h nên ta có:

\(\frac{40}{x}+\frac{80}{x+10}=y\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}600-5xy=2x\left(3\right)\\120x+400=x^2y+10xy\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (4) rút \(xy=\frac{600-2x}{5}\) thay vào (4) ta có:

\(120x+400=\frac{600-2x}{5}.x+2\left(600-2x\right)\)

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

(loại)

nên y giờ 2 giờ 36 phút.

Vậy vận tốc dự định của người đi xe máy từ A đến B là 40km/h và thời gian đi trên đường thực tế là 2 giờ 36 phút.

Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120Km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được 1/3 quãng đường người đó tăng vận tốc lên 10Km/h trên quãng đường cò

tk#

tham khảo nha

Gọi quãng đường AB là $a(km)$

Thời gian dự định là $b(h)$

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{{35}} = b + 2\\ \dfrac{a}{{50}} = b - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 350\\ b = 8 \end{array} \right.\)

Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8h

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-2x-m=0\) (1)

\(\Delta'=1+m\)

Để d tiếp xúc (P) \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm kép \(\Leftrightarrow1+m=0\Rightarrow m=-1\)

\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Để d cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1

\(\Rightarrow\left(-1\right)^2-2\left(-1\right)-m=0\Rightarrow m=3\)

\(\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow y=1\\x=3\Rightarrow y=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(-1;1\right)\\B\left(3;9\right)\end{matrix}\right.\)

b/ Để d cắt (P) tại 2 điểm \(\Rightarrow1+m>0\Rightarrow m>-1\)

\(\Rightarrow x_M+x_N=2\Rightarrow x_I=\frac{x_M+x_N}{2}=1\)

\(\Rightarrow I\) nằm trên đường thẳng \(x=1\)

Thay nghiệm $x=3$ vào `pt`:

\(\Rightarrow3^2-3m+2m-5=0\Leftrightarrow-m=-4\Leftrightarrow m=4\)

`⇒pt: x^2-4m+3=0`

Theo đề thì `pt` đã có 2 nghiệm nên theo hệ thức Vi-et:

\(x_1+x_2=4\Leftrightarrow x_2=4-x_1=4-3=1\)

Vậy nghiệm còn lại là `1`