Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Để \(f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1=\left(ax+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m+1\right)x+\left(m^2+1\right)=a^2x^2+2abx+b^2\)

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\2ab=-\left(2m+1\right)\\b^2=m^2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\2ab=-2m-1\\b^2=m^2+1\end{matrix}\right.\)

Với \(a=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=-2m-1\\b^2=m^2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\b=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Với \(a=-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2b=-2m-1\\b^2=m^2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{3}{4}\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2+m\right)=-4m\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow-4m>0\Rightarrow m< 0\)

Theo định lý vi - et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2\left(m^2+m\right)=4\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Lời giải:

Ta thấy \(x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow x+2y\geq 0\)

Có: \(5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)\Leftrightarrow 5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]=28(x+2y)\)

Nếu \(x\geq 2\) hoặc \(x\leq -2\) thì \(x^2\geq 4\)

Áp dụng BĐT Am-Gm kết hợp \(x+2y\geq 0\)

\((x+2y)^2+3x^2\geq 2\sqrt{(x+2y)^23x^2}=2(x+2y)\sqrt{3x^2}\)

Vì \(x^2\geq 4\Rightarrow (x+2y)^2+3x^2\geq 2(x+2y)^2\sqrt{12}>6(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]>30(x+2y)>28(x+2y)\) (vô lý)

Do đó \(-2< x<2\Rightarrow x\in \left\{-1;0;1\right\}\)

Thử lần lượt các giá trị trên vào PT ban đầu thu được các bộ nghiệm thỏa mãn là \((x,y)=\left\{(-1,3),(0,0),(1,2)\right\}\)

\(A=\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\dfrac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge2a+\dfrac{1-a}{4a}+b^2=2a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+b^2\)

\(\ge a+\dfrac{1}{4a}-b+b^2+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)

\(\ge1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của : P=$\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

b) Ta có pt:

\(x-2=2x+1\)

\(\Leftrightarrow x=-3\Rightarrow y=-5.\)

Vậy E(-3;-5).

c)Thay x=-3,y=-5 vào hs y=(m-2)x+m, ta được:

\(\left(m-2\right).\left(-3\right)+m=-5\)

\(\Leftrightarrow-2m+6=-5\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-11}{2}.\)

\(3\left(x-2y\right)=17\)

Ta có vế trái luôn chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) không tồn tại x, y nguyên thỏa mãn phương trình đã cho

\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

\(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}-\dfrac{8}{1+\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{20}-5}{2-\sqrt{5}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{5}-\dfrac{8\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{5}\left(2-\sqrt{5}\right)}{2-\sqrt{5}}=\sqrt{5}-\dfrac{8\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}-\sqrt{5}=-\dfrac{8\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=-2\left(\sqrt{5}-1\right)=2-2\sqrt{5}\)