Chương II - Hàm số bậc nhất

\(a)P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{6\sqrt{x}-4}{1-x}\\ P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{x-1}\\ P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}+\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{x-1}\\ P=\dfrac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3-6\sqrt{x}+4}{x-1}\\ P=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\\ b)P=-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=-1\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}-1=-\sqrt{x}-1\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x}=-1+1\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=0\\ \Leftrightarrow x=0\left(TMĐKXĐ\right)\)
Vậy \(x=0\) thì \(P=-1\)
\(c)\) Xét hiệu
\(P-1\\ =\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-1\\ =\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\\ =\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2< 0\\x\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< 0\\\sqrt{x}\ge0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< 0\\\sqrt{x}+1\ge1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}\le-2\\ \Rightarrow P-1\le-2\\ \Rightarrow P\le-1\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(-x+1=x+3\Rightarrow2x=-2\)

\(\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=x+3=2\)

\(\Rightarrow A\left(-1;2\right)\)

Để A thuộc \(y=\left(m-1\right)x+m^2-1\) thì:

\(-1.\left(m-1\right)+m^2-1=2\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

Đề lỗi rồi em

Phương trình hoành độ giao điểm: 

\(2x-3m=x-2m+1\)

\(\Rightarrow x=m+1\)

\(\Rightarrow y=x-2m+1=-m+2\)

\(\Rightarrow P=-2\left(m+1\right)^2+3\left(-m+2\right)+1\)

\(=-2m^2-7m+5=-2\left(m+\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{89}{8}\le\dfrac{89}{8}\)

Dấu "=" xảy  ra khi \(m=-\dfrac{7}{4}\)

Thay x=0 vào y=x-3, ta được:

y=0-3=-3

Thay x=0 và y=-3 vào (d), ta được:

\(0\left(2-m\right)+m+1=-3\)

=>m+1=-3

=>m=-4

a: Đặt (d1): y=ax+b(a<>0)

Vì (d1) vuông góc với (d) nên 3a=-1

=>\(a=-\dfrac{1}{3}\)

Vậy: (d1): \(y=-\dfrac{1}{3}x+b\)

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{3}x+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{3}x=-b\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{x}{3}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3b\\y=0\end{matrix}\right.\)

=>A(3b;0)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\dfrac{1}{3}\cdot0+b=b\end{matrix}\right.\)

=>B(0;b)

\(AB=2\sqrt{10}\)

=>\(AB^2=40\)

=>\(\left(0-3b\right)^2+\left(b-0\right)^2=40\)

=>\(10b^2=40\)

=>\(b^2=4\)

=>b=2 hoặc b=-2

Vậy: (d1): y=-1/3x+2 hoặc (d1): y=-1/3x-2

b: Đặt (d2): y=ax+b

Vì (d2)//(d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne-5\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d2): y=3x+b

Tọa độ C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\3x+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{b}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(C\left(-\dfrac{b}{3};0\right)\)

tọa độ D là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3x+b=3\cdot0+b=b\end{matrix}\right.\)

=>D(0;b)

\(OC=\sqrt{\left(-\dfrac{b}{3}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{3}\right)^2+0}=\dfrac{\left|b\right|}{3}\)

\(OD=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(b-0\right)^2}=\sqrt{0^2+b^2}=\left|b\right|\)

Vì Ox\(\perp\)Oy nên OC\(\perp\)OD

=>ΔOCD vuông tại O

=>\(S_{OCD}=\dfrac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\)

=>\(S_{OCD}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left|b\right|}{3}\cdot\left|b\right|=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{b^2}{3}\)

Để \(S_{OCD}=6\) thì \(\dfrac{b^2}{6}=6\)

=>\(b^2=36\)

=>\(b=\pm6\)

Vậy: (d2): y=3x+6 hoặc (d2): y=3x-6

Để ΔOCD cân tại O thì OC=OD

=>\(\dfrac{\left|b\right|}{3}=\left|b\right|\)

=>\(\left|b\right|=0\)

=>b=0

Vậy: (d2): y=3x

a: Thay m=2 vào y=(m-1)x+m-1, ta được:

y=(2-1)x+2-1=x+1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x+1=-x+1

=>2x=0

=>x=0

Thay x=0 vào y=x+1, ta được:

y=0+1=1

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(0;1)

b: Thay x=3 và y=4 vào y=(m-1)x+m-1, ta được;

3(m-1)+m-1=4

=>4(m-1)=4

=>m-1=1

=>m=2

c: Để hai đường thẳng này cắt nhau thì \(m-1\ne-1\)

=>\(m\ne0\)

Sửa đề:

1) Xác định hàm số y = ax + b \(\left(a\ne0\right)\) biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

Giải

Do đồ thị hàm số cắt trục tung đại điểm có tung độ bằng 3 nên b = 3

\(\Rightarrow y=ax+3\)

Do đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên thay \(x=-2;y=0\) vào hàm số, ta có:

\(a.\left(-2\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow-2a=-3\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\) (nhận)

Vậy hàm số cần xác định là \(y=\dfrac{3}{2}x+3\)

2)

a) Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ có dạng:

\(y=ax\left(a\ne0\right)\)

Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left(4;2\right)\) nên thay \(x=4;y=2\) vào hàm số ta có:

\(a.4=2\)

\(a=\dfrac{1}{2}\)

Vậy hệ số góc của đường thẳng cần tìm là \(\dfrac{1}{2}\)

b) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng:

\(y=ax\left(a\ne0\right)\)

Do đường thẳng đi qua điểm \(B\left(-1;3\right)\) nên thay \(x=-1;y=3\) vào đường thẳng, ta có:

\(a.\left(-1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow a=-3\)

Vậy hệ số góc cần tìm là \(-3\)

3)

a) ĐKXĐ: \(4-x\ge0\Leftrightarrow x\le4\)

Phương trình tương đương:

\(\sqrt{\left(x-4\right)^2}=4-x\)

\(\Leftrightarrow\left|x-4\right|=4-x\)

\(\Leftrightarrow x-4=4-x\)

\(\Leftrightarrow x+x=4+4\)

\(\Leftrightarrow2x=8\)

\(\Leftrightarrow x=4\) (nhận)

Vậy \(S=\left\{4\right\}\)

b) ĐKXĐ: \(2-x\ge0\Leftrightarrow x\le2\)

Phương trình tương đương:

\(x^2-2x=\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)-\left(2-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)

Vậy \(S=\left\{2\right\}\)

c) \(\sqrt{2x+27}-6=x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+27}=x+6\)  (1)

ĐKXĐ: \(x+6\ge0\Leftrightarrow x\ge-6\)

(1) \(\Leftrightarrow2x+27=\left(x+6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x+27=x^2+12x+36\)

\(\Leftrightarrow x^2+12x+36-2x-27=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+9x+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)+\left(9x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)+9\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+9=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(tm\right)\\x=-9\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{-1\right\}\)

a: Để (d)//y=2x-3 thì \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=2x+b

Thay x=1/2 và y=7/4 vào (d), ta được:

\(b+2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}\)

=>b+1=7/4

=>b=3/4

Vậy (d): \(y=2x+\dfrac{3}{4}\)

b: Thay x=0 và y=3 vào (d), ta được:

\(a\cdot0+b=3\)

=>b=3

Vậy: (d): y=ax+3

Thay x=2 và y=1 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+3=1\)

=>2a=-2

=>a=-1

Vậy: (d): y=-x+3

c: Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+b=0\)

=>2a+b=0(1)

Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot1+b=2\)

=>a+b=2(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b-a-b=0-2\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=2-a=2-\left(-2\right)=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=-2x+4

d: Thay x=0 và y=3 vào (d), ta được:

\(a\cdot0+b=3\)

=>b=3

Vậy: (d): y=ax+3

Thay x=2/3 và y=0 vào (d), ta được:

\(a\cdot\dfrac{2}{3}+3=0\)

=>\(a\cdot\dfrac{2}{3}=-3\)

=>\(a=-3:\dfrac{2}{3}=-\dfrac{9}{2}\)

Vậy: (d): \(y=-\dfrac{9}{2}x+3\)

e: Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot1+b=2\)

=>a+b=2(3)

Thay x=3 và y=6 vào (d), ta được:

\(3\cdot a+b=6\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b=6\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-a-b=6-2\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=4\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=2x

f: Vì (d) có hệ số góc là 3 nên a=3

Vậy: (d): y=3x+b

Thay x=1 vào y=x+2, ta được:

\(y=1+2=3\)

Thay x=1 và y=3 vào (d), ta được:

\(b+3\cdot1=3\)

=>b=0

Vậy: (d): y=3x