Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Bài 5:

a: TH1:m=0

=>x+1=0

=>x=-1(nhận)

TH2: m<>0

\(\text{Δ}=1^2-4m\left(m+1\right)=1-4m^2-4m\)

Để phương trình có nghiệm kép thì -4m^2-4m+1=0

=>\(m=\dfrac{-1\pm\sqrt{2}}{2}\)

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m^2-4m+1>=0

=>\(\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< =\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\)

c: Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< =\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{-1}{m}>0\\\dfrac{m+1}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< =\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\m< =-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< =-1\)

d: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m(m+1)<0

=>-1<m<0

e: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< =\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{m+1}{m}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0< m< =\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}< =m< -1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(-3\right)^2-4\left(2-m\right)< 0\)

=>9-8+4m<0

=>4m+1<0

=>m<-1/4

a: (P) có đỉnh nằm trên y=-1 nên đỉnh của (P) là A(x;-1)

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-8a-2b=0\\a+b+c=0\\b^2-4ac=4a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4a+b=0\\a+b+c=0\\b^2-4ac=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4a\\a-4a+c=0\\\left(-4a\right)^2-4ac=4a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4a\\c=3a\\16a^2-4a\cdot3a=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4a\\c=3a\\4a^2-4a=0\end{matrix}\right.\)

=>a=1; b=-4; c=3

b: Vì (P) có đỉnh nằm trên trục hoành thì đỉnh của (P) sẽ là A(x;0)

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}0a+0b+c=1\\4a+2b+c=1\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\4a+2b=0\\b^2-4a=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\b=-2a\\4a^2-4a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\a=1\\b=-2\end{matrix}\right.\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(3-m\right)=4-12+4m=4m-8\)

Để phươg trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m-8>0

=>m>2

Theo đề, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>4\\x_1x_2>4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2>4\\3-m>4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

`y_[max]=5<=>x=-2=>I(-2;5)`

`=>[-b]/[2a]=-2=>4a=b`   `(1)`

    `[-\Delta]/[4a]=5=>[4ac-b^2]/[4a]=5=>4ac-b^2=5b`   `(2)`

Vì `M(1;-1) in (P)=>-1=a+b+c=>c=-a-b-1`   `(3)`

Từ `(2);(3)=>4a(-a-b-1)-b^2=5b`

             `<=>-4a^2-4ab-4a-b^2=5b`

             `<=>-(2a+b)^2-4a=5b   `(4)`

Từ `(1);(4)=>-(2a+4a)^2-4a=20a`

              `<=>-36a^2-24a=0<=>[(a=0(\text{Loại vì }a \ne 0)),(a=-2/3):}`

    `=>{(b=4.(-2/3)=-8/3),(c=-(-2/3)-(-8/3)-1=7/3):}`

Vậy `(P): y=-2/3x^2-8/3x+7/3`

Đỉnh của (P) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2m}{2\cdot m}=-2\\y=-\dfrac{\left(2m\right)^2-4\cdot m\cdot\left(m^2+2m\right)}{4m}=\dfrac{-4m^2+4m\left(m^2+2m\right)}{4m}\end{matrix}\right.\)

=>x=-2 và \(y=-m+m^2+2m=m^2+m\)

y=x+7

=>m^2+m=-2+7=5

=>m^2+m-5=0

=>S là tập các nghiệm của pt m^2+m-5=0

Tổng các nghiệm là -1/1=-1

(P) đi qua A(-1;0) nên:

0=a-b+c 

<=>c=b-a (1)

(P) đi qua I(1;2) nên:

2=a+b+c (2) 

y= -delta/4a

<=> -(b^2-4ac)/4a=2 

<=> 8a= -b^2 + 4ac (3)

Từ (1),(2) và (3), ta có hệ:

c=b-a 

2=a+b+c 

8a=-b^2+4ac

<=> c=b-a 

2= a+b+b-a 

8a=-b^2+4ac

<=> c=1-a

b=1

8a=-(1)^2+4a(1-a)

<=>c=1-a

b=1

0=-4a^2-4a-1

*Giải phương trình bậc 2 ta đc nghiệm kép a=-1/2

<=>c=1-(-1/2)

b=1

a=-1/2

<=>c=3/2

b=1

a=-1/2

Vậy ta có T=a+b+c 

<=>T=-1/2+1+3/2

<=>T=2.

*Fun fact: tại vị trí (2) ta đã có 2=a+b+c rồi nên ko cần tính nữa.