Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

y' là đạo hàm bậc nhất của y. Bạn đọc sách toán phổ thông phần đạo hàm/ tìm max min của hàm số hoặc google search để tìm hiểu rõ hơn.

ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)

Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\)

Ta có: \(t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\ge\sqrt{x+3+6-x}=3\)

\(t\le\sqrt{2\left(x+3+6-x\right)}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow3\le t\le3\sqrt{2}\)

Lại có:

\(t^2=9+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}\Rightarrow-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{9-t^2}{2}\)

Phương trình trở thành:

\(t+\dfrac{9-t^2}{2}=m\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\) trên \(\left[3;3\sqrt{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[3;3\sqrt{2}\right]\) 

\(f\left(3\right)=3\) ; \(f\left(3\sqrt{2}\right)=\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm khi \(\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le3\)

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn

a: \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-3}=3\)

=>căn x^2-3=3/2

=>x^2-3=9/4

=>x^2=9/4+3=21/4

=>\(x=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{2}\)

b: =>3 căn 4-x^2=-1(loại)

c: =>x^2-2=3-x^2

=>2x^2=5

=>x^2=5/2

=>\(x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{2}}\)

Gọi điểm cố định mà đường thẳng :

(d) có phương trình y = (m² + m) x - 2m² - 2m đi qua  là điểm A ( x_0;y₀)

Vì điểm A thuộc đường thẳng (d) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) ta có :

(m² + m) x₀ - 2m² - 2m =  y₀

m².x₀ + mx₀ - 2m² - 2m = y₀

(m²x₀ - 2m²) + ( mx₀ - 2m) = y₀

m²(x₀ - 2) + m(x₀ - 2) = y₀

(m² + m)( x₀ - 2) = y₀ (1)

Pt(1) luôn đúng với \(\forall\) m \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Rightarrow\) A( 2;0)

Kết luận : Vậy điểm cố định mà đường thẳng y =  (m² +m) x - 2m² - 2m đi qua là điểm A(2;0)

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot1\cdot4=4m^2-8m+16-16=4m^2-8m\)

Để BPT luôn đúng thì 4m^2-8m<0

=>4m(m-2)<0

=>0<m<2

\(x^2+2\left(m-1\right)x+4>0\forall x\inℝ\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-4< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+1\right)< 0\Leftrightarrow-1< m< 3\).

a: =>(x-1)(x-2)<=0

=>1<=x<=2

b: =>(x^2-1)(x^2-2)<=0

=>1<=x^2<=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}1< =x< =\sqrt{2}\\-1>=x>=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\cdot0+b\cdot0+c=1\\-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\b=-2a\\-b^2-4a=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\b=-2a\\-4a^2-4a-3a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\a=-\dfrac{7}{4}\\b=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)