Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

\(2^{x^2-2x-3}\le3^{x^2-2x-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x^2-2x-3}\ge1\)

\(\Rightarrow x^2-2x-3\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{3;4;...;9\right\}\)

ĐKXĐ: \(x>log_96\)

\(log_2\left(4.3^x-6\right)-log_2\left(9^x-6\right)=1\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{4.3^x-6}{9^x-6}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4.3^x-6}{9^x-6}=2\)

\(\Leftrightarrow9^x-2.3^x-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3^x=-1< 9\left(loại\right)\\3^x=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\)

Ủa đề là \(2^{x^2-1}=5^{x+1}\) hay \(2^{x^2}-1=5^{x+1}\) nhỉ?

Đề đúng như vầy ko thể giải được

\(2^{x^2-1}=5^{x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=log_2\left(5^{x+1}\right)=\left(x+1\right).log_25\)

\(\Leftrightarrow x^2-log_25.x-1-log_25=0\)

Theo hệ thức Viet, tổng các nghiệm của pt là: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=log_25\)

\(\Leftrightarrow12^x-8.4^x-3.3^x+24=0\)

\(\Leftrightarrow4^x\left(3^x-8\right)-3\left(3^x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4^x-3\right)\left(3^x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x=3\\3^x=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=log_43\\x=log_38\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow log_43.log_38=\dfrac{3}{2}\)

a.

Đặt \(\left(2+\sqrt{3}\right)^x=t>0\Rightarrow t^2=\left(7+4\sqrt{3}\right)^x\)

Phương trình trở thành:

\(t^2+2t-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^x=1\)

\(\Rightarrow x=0\)

b.

\(2^{x^2+x}-4.2^{x^2-x}-2^{2x}+4=0\)

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}\left(2^{2x}-4\right)-\left(2^{2x}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2^{x^2-x}-1\right)\left(2^{2x}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2^{x^2-x}-1=0\\2^{2x}-4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x=0\\2x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

a.

\(9^{2x-1}-3.6^{2x-1}+2.4^{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{9}{4}\right)^{2x-1}-3\left(\dfrac{6}{4}\right)^{2x-1}+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2.\left(2x-1\right)}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x-1}+2=0\)

Đặt \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x-1}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2-3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x-1}=1\\\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x-1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=0\\2x-1=log_{\dfrac{3}{2}}2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{1}{2}log_{\dfrac{3}{2}}2+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b.

\(2^{x^2-x}-2^{2+x-x^2}=3\)

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}-4.2^{x-x^2}=3\)

Đặt \(2^{x^2-x}=t>0\Rightarrow2^{x-x^2}=\dfrac{1}{t}\)

Pt trở thành:

\(t-\dfrac{4}{t}=3\Rightarrow t^2-3t-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\left(loại\right)\\t=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2^{x^2-x}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(log_{\dfrac{1}{3}}^2\left(x\right)-5log_3\left(x\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow-log_3^2\left(x\right)-5log_3\left(x\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow log_3^2\left(x\right)-5log_3\left(x\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_3\left(x\right)=3\\log_3\left(x\right)=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3^3=27\\x=3^2=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{27}{9}=3\)

Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow \log_2(x+2)-\log_2(y+1)+(x+2)^2=4(y+1)^2+1\)

\(\Leftrightarrow \log_2(x+2)+(x+2)^2=(2y+2)^2+\log_2(y+1)+1=(2y+2)^2+\log_2(2y+2)\)

Xét $f(x)=\log_2(x)+x^2$ với $x>0$

$f'(x)=2x+\frac{1}{x\ln 2}>0$ với mọi $x>0$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $(0;+\infty)$

Suy ra để $f(x+2)=f(2y+2)\Leftrightarrow x+2=2y+2$

$\Leftrightarrow x=2y$

$x\leq 2020\Leftrightarrow y\leq 1010$

$y\leq 1010$ nên có $1010$ giá trị $y$ thỏa mãn 

Ứng với mỗi giá trị $y$ ta có 1 giá trị $x$ thỏa mãn 

Do đó có 1010 cặp $(x,y)$ thỏa mãn.

                                                                         AllesKlar                                                                                                         : cảm ơn bạn. Mình vừa xem lại và đã update lại lời giải.

12

4 + 8 =12

12