Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Đặt \(\begin{cases}u=9^{\sin x}\\v=-9^{2\cot x}\end{cases}\) (u>0, v<0)

Hệ trở thành 

\(\begin{cases}u+v=2\\u.v=-3\end{cases}\)

Khi đó u, v là nghiệm của phương trình \(t^2-2t-3=0\)

Phương trình này có 2 nghiệm t=-1 và t=3.

Vì u>0, v<0 nên v=3, v=-1

Thay lại ta được\(\begin{cases}9^{\sin y}=3\\-9^{2\cot x}=-1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sin y=\frac{1}{2}\\\cot x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\begin{cases}y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\\x=\frac{\pi}{2}+l\pi\end{cases}\) (\(k,l\in Z\))

Điều kiện \(x,y>0,x\ne1,y\ne1\) Hệ tương đương với 

\(\begin{cases}\frac{1}{2}\log_y\left(xy\right)=\log_xy\\2^x+2^y=3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\log_yx+1=\frac{2}{\log_yx}\\2^x+2^y=3\end{cases}\)

Giải phương trình thú nhất ẩn \(t=\log_yx\) ta thu được \(t=1;t=-2\)

Do đó x=y hoặc \(x=\frac{1}{y^2}\)

Với x=y thế vào phương trình 2 ta thu được \(x=\log_2\frac{3}{2}\)

Với \(x=\frac{1}{y^2}\), thế vào phương trình 2 ta được :

\(2^y+2^{\frac{1}{y^2}}=3\left(y>0,y\ne1\right)\)

Phương trình này vô nghiệm, thật vậy :

+ Nếu \(y>1\) thì \(2^y>2\) và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^o=1\) suy ra vế trái >2=VP

+ 0<y<1 thì \(2^y>1\)và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^1=2\) suy ra vế trái >2=VP

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(\log_2\frac{3}{2};\log_2\frac{3}{2}\right)\)

Điều kiện x, y dương

Đặt \(u=lgx,v=lgy\) ta có hệ :

\(\begin{cases}2u-3v=-5\\3u+4v=18\end{cases}\)

Giải hệ này ta được u=2, v=3

Từ đó suy ra x=100, y=1000

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (100;1000)

Điều kiện x, y dương

Đặt \(u=lgx,v=lgy,\left(u>0\right)\), ta có hệ :

\(\begin{cases}u+2v=3\\u^2-6v=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2v=3-u\\u^2+3u-10=0\end{cases}\)

                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=2\\v=\frac{1}{2}\end{cases}\)

Từ đó tính ra được x=4, \(y=\sqrt{10}\)

Điều kiện là x;y là các số nguyên dương

Đặt u=lgx và vlgy (u>0) , ta có hệ phương trình sau :
\(\begin{cases}u+2v=3\\u^2-6v=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2v=3-u\\u^2+3u-10=0\end{cases}\Leftrightarrow}\begin{cases}u=2\\v=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Từ đó ta thay u=2 và v=1/2 vào phương trình rồi tìm x;y

Trừ hai phương trình theo vế, ta được :

\(2^x+3x=2^y+3y\)

Xét hàm số : \(f\left(t\right)=2^t+3t\)

Dễ thấy f(t) đồng biến trên R

Do đó, từ \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) suy ra x=y. 

Thay vào phương trình thứ nhất la được :

\(2^x=3-x\)

Phương trình này có nghiệm duy nhất x=1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

Điều kiện x, y dương. Hệ phương trình tương đương với hệ :

\(\begin{cases}\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3y\right)\\2\left(1+\log_3x\right)=\log_2\left(y+3\right)\end{cases}\) (*)

Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ (*) ta có :

\(\log_2\left(x+3\right)+2\log_3x=\log_2\left(y+3\right)+2\log_3y\)

Xét hàm số :

\(f\left(t\right)=\log_2\left(t+3\right)+2\log_3t\) trên miền \(\left(0;+\infty\right)\).

Dễ thấy hàm số luôn đồng biến trên  \(\left(0;+\infty\right)\)., mà \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) nên \(x=y\).

Thay vào một trong hai phương trình của hệ (*), ta được 

\(\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3x\right)\)

hay

\(x+3=2^{2\left(1+\log_3x\right)}=4.2^{\log_3x^2}=4.2^{\log_32.\log_2x^2}=4\left(2^{\log_2x^2}\right)^{\log_32}\)

\(\Leftrightarrow x+3=4.x\log^{\log_34}\)

\(\Leftrightarrow x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}=4\) (**)

Xét 

\(g\left(x\right)=x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}\) trên khoảng( \(0:+\infty\)), ta có :

\(g'\left(x\right)=\left(1-\log_34\right)x^{-\log_34}-3.\log_34x^{-1-\log_34}\)

Thấy ngay \(g'\left(x\right)<0\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\), do đó \(g\left(x\right)\)nghịch biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

Mặt khác \(g\left(1\right)=4\) vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (**)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1)

\((6^2)^x.6^3<2^x.2^7.\dfrac{(3^3)^x}{3}=(2.3^3)^x.\dfrac{2^7}{3}\Leftrightarrow \left(\dfrac{2.3^3}{6^2}\right)^x>\dfrac{3.6^3}{2^7}\)

Suy ra \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x>\left(\dfrac{3}{2}\right)^4\).

Vậy x>4

\(pt\Leftrightarrow \dfrac{3^x}{3}.\dfrac{4^x}{4}=12^{9-x}\Leftrightarrow 12^{x-1}=12^{9-x}\)

Suy ra x-1=9-x nên x=5

 Với điều kiện xác định x>0 (1)

Với điều kiện đó, phương trình đã cho trở thành : \(\log_3\left(x+2\right)+\log_3x=1\)

                                                                       \(\Leftrightarrow\log_3\left(x\left(x+2\right)\right)=\log_33\)

                                                                       \(\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\)

                                                                       \(\Leftrightarrow x=1\)

Điều kiện :

\(\begin{cases}x-2>0\\3x-5>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>2\)

Phương trình tương đương \(\log_2\left(x-2\right)+\log_2\left(3x-5\right)=2\)

                                        \(\Leftrightarrow\log_2\left[\left(x-2\right)\left(3x-5\right)\right]=2\Leftrightarrow3x^2-11x+6=0\)

Giải phương trình trên và đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm phương trình đã cho là x=3