Chương III - Góc với đường tròn

a: AC=5/2AE
=>AC/AE=5/2

=>CE/AE=3/2

=>BC/BA=3/2

ΔACB vuông tại A có AN vuông góc BC

nên AB^2=BN*BC

=>ΔANB đồng dạng với ΔCAB

=>\(\dfrac{S_{ANB}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{AB}{CB}\right)^2=\dfrac{4}{9}\)

b: góc NAM=góc MBC

góc ABE=góc MAE
mà góc MBC=góc ABE

nên góc NAM=góc MAE

=>góc NAK=góc MAE
Xét ΔAME vuông tại M và ΔANK vuông tại N có

góc MAE=góc NAK

=>ΔAME đồng dạng với ΔANK

=>AM/AN=AE/AK

=>AM*AK=AN*AE

góc BOC=2*30=60 độ

\(S=\dfrac{pi\cdot4^2\cdot60}{360}=\dfrac{8}{3}pi\)

a: ΔOMN cân tại O

mà OE là trung tuyến

nên OE vuông góc MN

góc OEA=góc OBA=góc OCA=90 độ

=>O,E,B,A,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

=>OEBC nội tiếp

b: Xét ΔACM và ΔANC có

góc ACM=góc ANC

góc CAM chung

=>ΔACM đồng dạng với ΔANC

=>AC/AN=AM/AC

=>AC^2=AN*AM

1: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nộitiếp

Tâm là trung điểm của BC

2: góc EFC=góc DAC

góc DFC=góc EBC

góc DAC=góc EBC

=>góc EFC=góc DFC

=>FC là phân giác của góc EFD

BFEC nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

mà góc A chung

nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB

=>AF/AC=AE/AB

=>AF*AB=AC*AE

a. Em tự giải

b.

Do tứ giác BDHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{HBM}\) (cùng chắn cung HM)

Do tứ giác ABDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{ADE}\) (cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{ADE}\)

\(\Rightarrow DH\) là phân giác trong góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Lại có \(DH\perp DB\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow DB\) là phân giác ngoài góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{EH}{HK}=\dfrac{EB}{BK}=\dfrac{ED}{DK}\) \(\Rightarrow BK.HE=BE.HK\)

c.

Hai điểm D và E cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông nên tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH

\(\Rightarrow I\) là trung điểm CH

Trong tam giác ABC, do hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H \(\Rightarrow H\) là trực tâm

\(\Rightarrow CH\perp AB\) hay C;H;M thẳng hàng

Ta có \(IC=IE\) (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE) \(\Rightarrow\Delta CIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{CEI}\)

Lại có \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OEB}\)

Mà \(\widehat{OBE}=\widehat{ECI}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{OEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEI}+\widehat{IEB}=\widehat{OEB}+\widehat{IEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{OEI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OEI}=90^{ }\)

Hay \(OE\perp IE\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

a: góc BOC=2*40=80 độ

độ dài cung CB=4*pi(cm)

nên \(\dfrac{pi\cdot R\cdot80}{180}=4\cdot pi\)

=>R*4/9=4

=>R=9

S=9^2*3,14=254,34

b: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

góc ACN=1/2*sđ cung AN

góc ABM=1/2*sđ cung AM

góc ACN=góc ABM

=>sđ cung AN=sđ cung AM

=>A là điểm chính giữa của cung MN

a: góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

b: góc IEN+góc IBN=180 độ

=>IENB nội tiếp

=>góc ENI=góc EBI

góc MIN=góc MIE+góc NIE

=góc MAE+góc NBE

=90 độ-góc EAI+90 độ-góc EBI=90 độ