a: AC=5/2AE
=>AC/AE=5/2
=>CE/AE=3/2
=>BC/BA=3/2
ΔACB vuông tại A có AN vuông góc BC
nên AB^2=BN*BC
=>ΔANB đồng dạng với ΔCAB
=>\(\dfrac{S_{ANB}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{AB}{CB}\right)^2=\dfrac{4}{9}\)
b: góc NAM=góc MBC
góc ABE=góc MAE
mà góc MBC=góc ABE
nên góc NAM=góc MAE
=>góc NAK=góc MAE
Xét ΔAME vuông tại M và ΔANK vuông tại N có
góc MAE=góc NAK
=>ΔAME đồng dạng với ΔANK
=>AM/AN=AE/AK
=>AM*AK=AN*AE
Cho (O) R=4cm , tiếp tuyến Bx ( x là tiếp điểm) vẽ dây BC sao cho góc xBC = 30 đô tính dien tích hình quat tạo bởi 2 bán kinh OB ,OC và cung nhỏ BC
góc BOC=2*30=60 độ
\(S=\dfrac{pi\cdot4^2\cdot60}{360}=\dfrac{8}{3}pi\)
a: ΔOMN cân tại O
mà OE là trung tuyến
nên OE vuông góc MN
góc OEA=góc OBA=góc OCA=90 độ
=>O,E,B,A,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
=>OEBC nội tiếp
b: Xét ΔACM và ΔANC có
góc ACM=góc ANC
góc CAM chung
=>ΔACM đồng dạng với ΔANC
=>AC/AN=AM/AC
=>AC^2=AN*AM
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn(AB<AC; AB <BC) nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt AB tại F. Tia EF cắt tia CB tại S.
1. Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này.
2. Chứng minh: FC là tia phân giác góc EFD và AF.AB =AE.AC
3. Tia EF cắt tia CB tại S. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (I) cắt FC và AS lần lượt tại P và M. Chứng minh:ME là tiếp tuyến của (I).
4. Đường thẳng qua D song song với BE cắt BM tịa N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE cắt BE tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng qua B song song với AC cắt DF tại Q. Chứng minh: OK vuông góc với PQ
1: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nộitiếp
Tâm là trung điểm của BC
2: góc EFC=góc DAC
góc DFC=góc EBC
góc DAC=góc EBC
=>góc EFC=góc DFC
=>FC là phân giác của góc EFD
BFEC nội tiếp
=>góc AFE=góc ACB
mà góc A chung
nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB
=>AF/AC=AE/AB
=>AF*AB=AC*AE
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy các điểm E và D khác A, B sao cho E nằm trên cung AD. Gọi H là giao điểm của AD và BE, C là giao điểm AE và BD. M là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh tứ giác BDHM là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của MD và BH, chứng minh BK.HE = BE.HK
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
a. Em tự giải
b.
Do tứ giác BDHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{HBM}\) (cùng chắn cung HM)
Do tứ giác ABDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{ADE}\) (cùng chắn cung AE)
\(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{ADE}\)
\(\Rightarrow DH\) là phân giác trong góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK
Lại có \(DH\perp DB\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow DB\) là phân giác ngoài góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK
Áp dụng định lý phân giác:
\(\dfrac{EH}{HK}=\dfrac{EB}{BK}=\dfrac{ED}{DK}\) \(\Rightarrow BK.HE=BE.HK\)
c.
Hai điểm D và E cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông nên tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH
\(\Rightarrow I\) là trung điểm CH
Trong tam giác ABC, do hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H \(\Rightarrow H\) là trực tâm
\(\Rightarrow CH\perp AB\) hay C;H;M thẳng hàng
Ta có \(IC=IE\) (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE) \(\Rightarrow\Delta CIE\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{CEI}\)
Lại có \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OEB}\)
Mà \(\widehat{OBE}=\widehat{ECI}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))
\(\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{OEB}\)
\(\Rightarrow\widehat{CEI}+\widehat{IEB}=\widehat{OEB}+\widehat{IEB}\)
\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{OEI}\)
\(\Rightarrow\widehat{OEI}=90^{ }\)
Hay \(OE\perp IE\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
a: góc BOC=2*40=80 độ
độ dài cung CB=4*pi(cm)
nên \(\dfrac{pi\cdot R\cdot80}{180}=4\cdot pi\)
=>R*4/9=4
=>R=9
S=9^2*3,14=254,34
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
góc ACN=1/2*sđ cung AN
góc ABM=1/2*sđ cung AM
góc ACN=góc ABM
=>sđ cung AN=sđ cung AM
=>A là điểm chính giữa của cung MN
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đtr (O).Đường cao AD của tam giác ABC cắt đtr (O) tại E(E khác A).Từ E vẽ EK vuông góc với .Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đtr (O).Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng xy tại Q
a)C/m tứ giác AQKE nội tiếp và góc KQE = góc BCE
b)Tia KD cắt AC tại N.C/m DECN nội tiếp và EN.QK=ND.EQ
Cho (O) ,đường kính AB =2R .Gọi\(d_1,d_2\) là 2 tiếp tuyến của (O) tại A,B .Gọi trung điểm của OA và E ∈ (O) (E ≠A,B) . Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt 2 đ/t \(d_1,d_2\) tại M,N
a, cm: tg AMEI nội tiếp
b, cm : \(\widehat{ENI}\) = \(\widehat{EBI}\) và \(\widehat{MIN}\) = 90 độ
c, cm : AM.BN=AE.BE
d, Gọi F là điểm chính giữa cung \(\stackrel\frown{AB}\) không chứa E của (O) .giả sử E,I,F thẳng hàng hãy tính S△ MN
a: góc MAI+góc MEI=180 độ
=>MAIE nội tiếp
b: góc IEN+góc IBN=180 độ
=>IENB nội tiếp
=>góc ENI=góc EBI
góc MIN=góc MIE+góc NIE
=góc MAE+góc NBE
=90 độ-góc EAI+90 độ-góc EBI=90 độ