Góc nội tiếp

Sigma
Trung tá -
21 tháng 1 lúc 19:14

Gọi B', C' lần lượt là giao điểm khác A của AB, AC với (O').

Do BM, CM là tiếp tuyến của (O') nên ta dễ dàng chứng minh được:

\(BM^2=BA.BB'\)\(CM^2=CA.CC'\)

\(\Rightarrow\dfrac{BM^2}{CM^2}=\dfrac{BA.BB'}{CA.CC'}\). (1) 

\(\Delta AOC\sim\Delta AO'C'(g.g)\Rightarrow \frac{AC}{AC'}=\frac{AO}{AO'}\).

Tương tự, \(\frac{AB}{AB'}=\frac{AO}{AO'}\).

Do đó \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BB'}{CC'}\). (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\).

Theo tính chất đường phân giác đảo thì AM là đường phân giác ngoài của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=180^o\Rightarrow180^o+\widehat{BAC}=2\widehat{EAC}\)

\(\Rightarrow180^o-\widehat{EAC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\). (3) 

Các tứ giác FDEA, DBAC nội tiếp nên \(\widehat{FDB}=180^o-\widehat{EAC};\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BAC}\). (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat{FDB}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}\) nên DF là phân giác góc BDC.

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
21 tháng 1 lúc 17:41

Tứ giác ABMC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^0\)

Mà \(\widehat{ACM}+\widehat{MCE}=180^0\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCE}\)

D và E cùng nhìn CM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow CDME\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MCE}=\widehat{MDE}\) (cùng chắn ME) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MDE}\)

Mặt khác D và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BFDM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{FDM}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}+\widehat{FDM}=180^0\Rightarrow\) D, E, F thẳng hàng

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
21 tháng 1 lúc 17:41

Hình vẽ:

undefined

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
21 tháng 1 lúc 14:42

Nếu được sử dụng định lú Ptoleme thì bài này chứng minh rất đơn giản.

Không được sử dụng Ptoleme thì chúng ta dựng hình:

Dựng đường tròn tâm M bán kính MC cắt AM tại D \(\Rightarrow MC=MD\)

Mà \(\widehat{CMA}=\widehat{CBA}\) (cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\widehat{CMA}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta MCD\) đều \(\Rightarrow\widehat{MCD}=60^0\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=60^0\\\widehat{BCM}+\widehat{DCB}=60^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCM}\)

Đồng thời \(AC=BC\) ; \(CD=CM\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AD=BM\)

\(\Rightarrow AM=AD+DM=BM+CM\) (đpcm)

undefined

Bình luận (1)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN