Chương 4: GIỚI HẠN

Bài này hơi khác 1 xíu, vì \(f\left(x\right)\) ở mẫu không khử được. Do đó ta cần biện luận như sau:

GIới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-5}{x-1}\) hữu hạn nên \(f\left(x\right)-5\) phải có ít nhất 1 nghiệm \(x=1\), hay \(f\left(1\right)-5=0\Rightarrow f\left(1\right)=5\)

Do đó:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{3f\left(x\right)+1}+8\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-5}{x-1}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{3f\left(x\right)+1}+8}\)

\(=12.\dfrac{1+1}{\sqrt{3f\left(1\right)+1}+8}=\dfrac{24}{\sqrt{3.5+1}+8}=2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\sqrt{6x-9}-\sqrt[3]{27x-54}}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x-18\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\sqrt{6x-9}-x+x-\sqrt[3]{27x-54}}{\left(x-3\right)^2\left(x+6\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\dfrac{6x-9-x^2}{\sqrt{6x-9}+x}+\dfrac{x^3-27x+54}{x^2+x\cdot\sqrt[3]{27x-54}+\sqrt[3]{\left(27x-54\right)^2}}}{\left(x-3\right)^2\left(x+6\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\dfrac{-\left(x-3\right)^2}{\sqrt{6x-9}+x}+\dfrac{\left(x-3\right)^2\left(x+6\right)}{x^2+x\cdot\sqrt[3]{27x-54}+\sqrt[3]{\left(27x-54\right)^2}}}{\left(x-3\right)^2\left(x+6\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\dfrac{-1}{\sqrt{6x-9}+x}+\dfrac{\left(x+6\right)}{x^2+x\cdot\sqrt[3]{27x-54}+\sqrt[3]{\left(27x-54\right)^2}}}{\left(x+6\right)}\)

\(=\dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{6\cdot3-9}+3}+\dfrac{3+6}{3^2+3\cdot\sqrt[3]{27\cdot3-54}+\sqrt[3]{\left(27\cdot3-54\right)^2}}}{3+6}\)

\(=\dfrac{-\dfrac{1}{3+3}+\dfrac{9}{9+3\cdot3+3^2}}{9}=\dfrac{-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}}{9}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{9}=\dfrac{1}{54}\)

Phương pháp đạo hàm ý em là định lý L'Hopital hả? Định lý L'Hopital là 1 phương pháp rất mạnh để giải các bài giới hạn dạng phân thức \(\dfrac{0}{0}\) hoặc \(\dfrac{\infty}{\infty}\), nhưng người ta hạn chế sử dụng khi xuất hiện căn thức (lý do là khi đạo hàm thì căn thức không những gọn đi mà còn "phình to" ra rất nhiều). Ưu điểm là nó khử dạng vô định rất nhanh chóng. Còn khi phân thức mà tử mẫu đều ko xuất hiện căn thức thì đó đúng là 1 pp mạnh tuyệt đối.

Định lý nó như sau: nếu \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) cùng tiến tới 0 (hoặc \(+\infty\) hoặc \(-\infty\)) khi \(x\rightarrow a\) nào đó thì:

\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\)

Bài này có cả căn bậc 3 nên đạo hàm ko được đẹp lắm. Tự hiểu là giới hạn nha, vì công thức latex gõ giới hạn hơi phức tạp, tốn thời gian lắm, gõ 1 biểu thức thôi thì lẹ gấp chục lần:

\(\dfrac{\sqrt[]{6x-9}-\sqrt[3]{27x-54}}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x-18\right)}=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt[]{6x-9}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(x-2\right)^2}}}{x^2+3x-18+\left(x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

Vậy là mất dạng vô định, thay số là xong.

Còn thêm bớt liên hợp thì khá đơn giản, do \(x\rightarrow3\) nên ta thay \(x=3\) vào 1 căn thức bất kì, ví dụ căn đầu, được \(\sqrt{6.3-9}=3\), vậy ta chỉ cần thêm bớt 3 vào tử số rồi liên hợp là được:

\(=\dfrac{\left(\sqrt[]{6x-9}-3\right)+\left(3-3\sqrt[3]{x-2}\right)}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x-18\right)}\)

Ủa ko để ý tới pt \(x^2+3x-18=0\) còn có nghiệm \(x=3\) do ko tính toán :D

Vậy nghĩa là mẫu xuất hiện nghiệm kép, với dạng mẫu xuất hiện nghiệm kép thì ta cần liên hợp tử cũng phải xuất hiện nghiệm kép. Có 2 cách thực hiện: dùng máy tính và dùng tay.

Biểu thức liên hợp cần thêm vào phải là 1 hàm bậc nhất dạng \(ax+b\)

Theo quy tắc tiếp tuyến (của lớp 12), ta có \(a=\left(\sqrt{6x-9}\right)'_{x=3}\)

Hay trong máy tính thì bấm , kết quả được 1

Vậy \(a=1\) (dùng tay thì đạo hàm biểu thức \(\left(\sqrt{6x-9}\right)'=\dfrac{3}{\sqrt{6x-9}}\) rồi thay x=3 cũng được 1)

Khi đó ta liên hợp: \(\sqrt{6x-9}-\left(x+b\right)\)

Liên hợp trên phải có nghiệm \(x=3\), tức là thay 3 vào thì nó =0

\(\Rightarrow\sqrt{6.3-9}-\left(3+b\right)=0\)

\(\Rightarrow b=0\)

Vậy biểu thức cần thêm bớt là \(1.x+0=x\), hay tử số ta cần phân tích thành:

\(\left(\sqrt[]{6x-9}-x\right)+\left(x-3\sqrt[3]{x-2}\right)\)

Gặp dạng giới hạn \(x\rightarrow a\) mà mẫu số phân tích xuất hiện \(\left(x-a\right)^2\) thì cứ làm như vậy là được

Tự luận thì cứ biến đổi biểu thức sao cho xuất hiện giả thiết là được:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)+2x-3}{\sqrt{2f\left(x\right)+7}-x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left[f\left(x\right)-1\right]+2\left(x-1\right)}{\sqrt{2f\left(x\right)+7}-3-\left(x-1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left[f\left(x\right)-1\right]+2\left(x-1\right)}{\dfrac{2\left[f\left(x\right)-1\right]}{\sqrt{2f\left(x\right)+7}+3}-\left(x-1\right)}\)

Chia cả tử và mẫu cho \(x-1\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\dfrac{f\left(x\right)-1}{x-1}+2}{\dfrac{f\left(x\right)-1}{x-1}.\dfrac{2}{\sqrt{2f\left(x\right)+7}+3}-1}=\dfrac{2+2}{2.\dfrac{2}{\sqrt{2.1+7}+3}-1}=-12\)

Trắc nghiệm: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-1}{x-1}=2\) nên chọn \(f\left(x\right)-1=2\left(x-1\right)\Rightarrow f\left(x\right)=2x-1\)

Rồi thay vào biểu thức đằng sau bấm máy thôi, được:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{4x-4}{\sqrt{4x+5}-x-2}=-12\)

Có cần cách tính tự luận ko? Mà bài trắc nghiệm tự luận tốn thời gian lắm.

- Từ điều kiện đề bài ta có: \(ax^2+bx+2\ne\pm\left(x^2-1\right)\)

Ở bài này, ta xét 2 trường hợp lớn:

1) Với \(a=0\). Ta xét 2 trường hợp nhỏ:

+ 1a) \(b\ne-2\):

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax^2+bx+2=\lim\limits_{x\rightarrow1}bx+2=b+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x^2-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\infty\) (loại).

+ 1b) \(b=-2\). Ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2}{x+1}=\dfrac{-2}{1+1}=-1\left(loại\right)\)

2) \(a\ne0\)

- Ta xét 3 trường hợp:

+2a) \(a+b+2=0\Rightarrow b=-2-a\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có nghiệm là 1 và có thể viết lại thành \(ax^2+bx+2=ax^2-\left(a+2\right)x+2=a\left(x-1\right)\left(x-x_0\right)\left(1\right)\) (x₀ là nghiệm còn lại của đa thức).

\(\left(1\right)\Rightarrow ax^2-\left(a+2\right)x+2=ax^2-a\left(1+x_0\right)x+ax_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1+x_0\right)\\2=ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{2}{a}\)

Vậy \(ax^2+bx+2=a\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)=\left(x-1\right)\left(ax-2\right)\), với \(b=-a-2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax-2}{x+1}=\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P=a.b=3.\left(-5\right)=-15\)

+2b) \(a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có một nghiệm là -1 và có thể được viết lại thành: \(ax^2+bx+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\left(2\right)\) (x₀ là nghiệm còn lại của tử thức).

\(\left(2\right)\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\)

\(\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=ax^2+a\left(1-x_0\right)-ax_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1-x_0\right)\\2=-ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{-2}{a}\)

Vậy \(ax^2+bx+2=\left(x+1\right)\left(ax+2\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}\)

 Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax+2=a+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}=\infty\) (loại)

+2c) Tử thức \(ax^2+bx+2\) không có nghiệm là 1 và -1. Làm tương tự như trường hợp 2b) (từ khúc tính lim).

Vậy \(P=-15\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{-8x^5+6x^3+2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{x^5\left(-8+6.\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^5}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{-8x^5}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}-2x^{\dfrac{5}{3}}=-\infty\)

Lời giải:
$x\to -2$ thì $2x+1\to -3<0$

$x\to -2$ thì $(x+2)^2\to 0$

$\Rightarrow \lim\limits_{x\to -2}\frac{2x+1}{(x+2)^2}=-\infty$

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{x^3-x^2}}{\sqrt{x-1}+1-x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{x^2\left(x-1\right)}}{\sqrt{x-1}-\left(x-1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x}{1-\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{1}=1\)

Câu 1: D

Câu 2: B

Câu 3: B

Câu 4: C

Câu 5: D

Câu 6: A

Câu 7: C

Câu 8: A

Câu 10: C

Câu 11: C

Câu 12: B

Câu 13: D

Câu 14: D

Câu 15: D

3C

4A

5C

6A

7A

9C

10A

11B

13C

14A

15A