Chương 4: GIỚI HẠN

\(=-\sqrt{\dfrac{\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}{5x^3+x+2}}=-\sqrt{\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{5+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}}}=-\sqrt{\dfrac{1.2}{5}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)

Quy tắc là đưa vào/đưa ra căn bậc 2 khi x tới âm vô cực thì phải thêm dấu "-" đằng trước căn bậc 2

Thay đại n và a là 2 số tự nhiên rồi bấm máy kiểm tra đi em

Hoặc sử dụng quy tắc L'Hopital, chứ bài dạng căn bậc n mà tách liên hợp dần dần chắc 3 trang giấy

Ví dụ sử dụng L'Hopital ở câu a:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\dfrac{a}{n}}{\sqrt[n]{\left(1+an\right)^{n-1}}}}{1}=\dfrac{a}{n}\)

Ủa đúng luôn, random chuẩn vậy :D

Giới hạn đã cho hữu hạn

\(\Rightarrow6x^2+\left(a-1\right)x-2b+1=0\) có nghiệm \(x=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{6}{9}+\dfrac{a-1}{3}-2b+1=0\)

\(\Rightarrow a-6b+4=0\Rightarrow a=6b-4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{3}}\dfrac{6x^2+\left(6b-5\right)x-2b+1}{3x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{3}}\dfrac{\left(3x-1\right)\left(2x-1\right)+2b\left(3x-1\right)}{3x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{3}}\left(2x-1+2b\right)=2b-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2\)

Đường nào mà nó lên trời là giới hạn tới dương vô cực, đường nào xuống âm phủ là âm vô cực

Từ đồ thị ta thấy 2 đường bên phải số -3 (nghĩa là \(x\rightarrow-3^+\)) và bên phải số 3 (nghĩa là \(x\rightarrow3^+\)) là tới dương vô cực

\(\dfrac{2x^2-3x+2}{x+1}-\left(ax+b\right)=\dfrac{2x^2-3x+2-\left(x+1\right)\left(ax+b\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(2-a\right)x^2-\left(a+b+3\right)x+2-b}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(2-a\right)x-\left(a+b+3\right)+\dfrac{2-b}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}\) (1)

Nếu \(a\ne2\Rightarrow\) giới hạn đã cho tiến tới vô cực (ktm)

\(\Rightarrow a=2\)

Khi đó \(\left(1\right)=\dfrac{-\left(a+b+3\right)}{1}=-\left(a+b+3\right)=0\)

\(\Rightarrow b+5=0\Rightarrow b=-5\)

Do giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{f\left(x\right)+1}{x-2}=a\) hữu hạn \(\Rightarrow f\left(x\right)+1=0\) có nghiệm \(x=2\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)+1=0\Rightarrow f\left(2\right)=-1\)

\(T=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)+2x+1}-x}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)+2x+1}-2-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{f\left(x\right)+1+2\left(x-2\right)}{\sqrt{f\left(x\right)+2x+1}+2}-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{\dfrac{f\left(x\right)+1}{x-2}+2}{\sqrt{f\left(x\right)+2x+1}+2}-1}{x+2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{a+2}{\sqrt{-1+4+1}+2}-1}{4}=\dfrac{a-2}{16}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[]{1+7x}-\sqrt[3]{1+9x}}{5x^3+2x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[]{1+7x}-1+1-\sqrt[3]{1+9x}}{x\left(5x^2+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\dfrac{7x}{\sqrt[]{1+7x}+1}+\dfrac{9x}{1+\sqrt[3]{9x+1}+\sqrt[3]{\left(9x+1\right)^2}}}{x\left(5x^2+2\right)}=\dfrac{\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{3}}{2}=\dfrac{13}{4}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\sqrt[]{9+12x}-\sqrt[3]{54x+27}}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\sqrt[]{9+12x}-\left(2x+3\right)+\left(2x+3-\sqrt[3]{54x+27}\right)}{x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\dfrac{-4x^2}{\sqrt[]{9+12x}+2x+3}+\dfrac{4x^2\left(2x+9\right)}{\left(2x+3\right)^2+\left(2x+3\right)\sqrt[3]{54x+27}+\sqrt[3]{\left(54x+27\right)^2}}}{x^2}\)

\(=\dfrac{-4}{3+3}+\dfrac{9}{9+9+9}=-\dfrac{1}{3}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\) nên ko tồn tại \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)\)

Đề bài yêu cầu gì em nhỉ?

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2\left(x^6-3x^4+5x^2+1\right)}{x^2\left(3x^8-7x^3+5\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^6-3x^4+5x^2+1}{3x^8-7x^3+5}=\dfrac{0-0+0+1}{0-0+5}\)

(Trường hợp âm vô cùng ko quen em có thể đặt \(x=-t\) đưa nó về dạng dương vô cùng sẽ dễ nhìn hơn, ở đây vẫn làm âm vô cùng)

\(=\dfrac{\sqrt{x^2+5x}+x+\sqrt{4x^2-x}+2x}{\sqrt{4x^2-7x}+2x}\)

\(=\dfrac{\dfrac{5x}{\sqrt{x^2+5x}-x}+\dfrac{-x}{\sqrt{4x^2-x}-2x}}{\dfrac{-7x}{\sqrt{4x^2-7x}-2x}}\)

(Lưu ý ở dạng âm vô cùng: khi đưa \(x^2\) ra khỏi căn bậc 2 thì nó biến thành \(\left|x\right|=-x\))

\(=\dfrac{\dfrac{5x}{-x\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}+\dfrac{-x}{-x\sqrt{4-\dfrac{1}{x}}-2x}}{\dfrac{-7x}{-x\sqrt{4-\dfrac{7}{x}}-2x}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{5}{-\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-1}+\dfrac{-1}{-\sqrt{4-\dfrac{1}{x}}-2}}{\dfrac{-7}{-\sqrt{4-\dfrac{7}{x}}-2}}=...\)

Ko viết lim cho lẹ nhé, tự hiểu

\(=\dfrac{2x\left(\sqrt{4x^2-2x}-2x+2x+\sqrt[3]{3x^2-8x^3}\right)}{5x-1}\)

\(=\dfrac{2x\left(\dfrac{-2x}{\sqrt[]{4x^2-2x}+2x}+\dfrac{3x^2}{4x^2-2x\sqrt[3]{3x^2-8x^3}+\sqrt[3]{\left(3x^2-8x^3\right)^2}}\right)}{5x-1}\)

\(=\dfrac{2\left(\dfrac{-2}{\sqrt[]{4-\dfrac{2}{x}}+2}+\dfrac{3}{4-2.\sqrt[3]{\dfrac{3}{x}-8}+\sqrt[3]{\left(\dfrac{3}{x}-8\right)^2}}\right)}{5-\dfrac{1}{x}}\)

\(=\dfrac{2\left(\dfrac{-2}{2+2}+\dfrac{3}{4-2.\left(-2\right)+2}\right)}{5}\)