Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi vận tốc lúc đầu là x(km/h)

(ĐK: x>0)

Thời gian dự kiến sẽ đi hết quãng đường là \(\dfrac{90}{x}\left(giờ\right)\)

Sau 1h, bác Tài đi được x(km)

=>Độ dài quãng đường còn lại là 90-x(km)

Vận tốc lúc sau là x+4(km/h)

Thời gian đi hết quãng đường còn lại là:

\(\dfrac{90-x}{x+4}\left(giờ\right)\)

9p=3/20(giờ)

Tổng thời gian đi trong thực tế là:

\(1+\dfrac{3}{20}+\dfrac{90-x}{x+4}=\dfrac{23}{20}+\dfrac{90-x}{x+4}\left(giờ\right)\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(\dfrac{23}{20}+\dfrac{90-x}{x+4}=\dfrac{90}{x}\)

=>\(\dfrac{90}{x}-\dfrac{90-x}{x+4}=\dfrac{23}{20}\)

=>\(\dfrac{90x+360-90x+x^2}{x\left(x+4\right)}=\dfrac{23}{20}\)

=>\(\dfrac{x^2+360}{x^2+4x}=\dfrac{23}{20}\)

=>\(23\left(x^2+4x\right)=20\left(x^2+360\right)\)

=>\(3x^2+92x-7200=0\)

=>\(3x^2-108x+200x-7200=0\)

=>\(\left(x-36\right)\left(3x+200\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=36\left(nhận\right)\\x=-\dfrac{200}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: vận tốc ban đầu là 36km/h

Bài 1:

Tổng số phần bằng nhau: 8+1=9(phần)

Số bé là: 72:9 x 1 = 8

Số lớn là: 8 x 8 = 64

Đ.số:2  số đó là 8 và 64

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD\(\perp\)AG tại D

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)GB tại C

Xét tứ giác GDHC có \(\widehat{GDH}+\widehat{GCH}=90^0+90^0=180^0\)

nên GDHC là tứ giác nội tiếp

=>G,D,H,C cùng thuộc một đường tròn

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của người thứ nhất là x(giờ), của người thứ hai là y(giờ)

(Điều kiện: x>0 và y>0 và x<>36 và y<>36)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\)(công việc)

Trong 1 giờ, hai người làm được \(\dfrac{1}{8}\)(công việc)

Do đó, ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\left(1\right)\)

Thời gian để người thứ nhất làm được 25% công việc là:

\(x\cdot25\%=0,25x\left(giờ\right)\)

Thời gian để người thứ hai làm được 25% công việc là:

y*25%=0,25y(giờ)

Nếu người thứ nhất làm 25% công việc và người thứ hai làm 25% công việc thì hết 9 giờ nên ta có:

0,25x+0,25y=9

=>x+y=36

=>x=36-y

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\)

=>\(\dfrac{1}{36-y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\)

=>\(\dfrac{y+36-y}{y\left(36-y\right)}=\dfrac{1}{8}\)

=>y(36-y)=288

=>\(36y-y^2-288=0\)

=>\(y^2-36y+288=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}y=24\left(nhận\right)\\y=12\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=24\end{matrix}\right.\)

Vậy: Thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình có thể là (12 giờ;24 giờ) hoặc (24 giờ; 12 giờ)

*Đã có người trả lời*=>Bấm để xem đáp án

\(a,Đặt:\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}\left(x\ne1\right)\\b=\dfrac{1}{y+2}\left(y\ne-2\right)\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=4\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6a+2b=8\\6a-3b=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5b=5\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=\dfrac{1+1}{2}=1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}=1\\b=\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y+2=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\y=-1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\\ Vậy:\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)\)

1.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) với x>10

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB là y (giờ) với y>1

Độ dài quãng đường AB là: \(xy\) (km)

Người đó tăng vận tốc thêm 20km/h thì vận tốc là: \(x+20\) (km/h)

Khi đó ô tô đến sớm hơn dự định 1 giờ nên thời gian đi hết quãng đường là: \(y-1\) giờ

Quãng đường khi đó là: \(\left(x+20\right)\left(y-1\right)\) (km)

Do độ dài quãng đường ko đổi nên ta có: \(\left(x+20\right)\left(y-1\right)=xy\) (1)

Người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc là: \(x-10\) (km/h)

Người đó đến muộn 1 giờ nên thời gian đi hết quãng đường khi đó là: \(y+1\)

Độ dài quãng đường đã đi: \(\left(x-10\right)\left(y+1\right)\)

Độ dài quãng đường không đổi nên ta có pt: \(\left(x-10\right)\left(y+1\right)=xy\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+20\right)\left(y-1\right)=xy\\\left(x-10\right)\left(y+1\right)=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy-x+20y-20=xy\\xy+x-10y-10=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+20y=20\\x-10y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20y-20\\10y=30\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=40\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc dự định là 40km/h, thời gian dự định là 3 giờ và độ dài quãng đường AB là \(40.3=120\) (km)

Bài 2 giống hệt bài 1 em tự giải

3.

Gọi vận tốc riêng của cano là x (km/h) và vận tốc riêng của dòng nước là y (km/h) với x>0,y>0,x>y

Vận tốc cano khi xuôi dòng: \(x+y\) (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng: \(x-y\) (km/h)

Cano xuôi dòng 38km hết thời gian là: \(\dfrac{38}{x+y}\) giờ

Cano ngược dòng 64km hết thời gian là: \(\dfrac{64}{x-y}\) giờ

Do xuôi dòng 38km và ngược dòng 64km hết 3 giờ nên ta có: \(\dfrac{38}{x+y}+\dfrac{64}{x-y}=3\) (1)

Thời gian cano xuôi dòng 19km: \(\dfrac{19}{x+y}\) giờ

Thời gian ngược dòng 16km: \(\dfrac{16}{x-y}\) giờ

Do cano xuôi dòng 19km và ngược dòng 16km hết 1 giờ nên ta có pt:

\(\dfrac{19}{x+y}+\dfrac{16}{x-y}=1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{38}{x+y}+\dfrac{64}{x-y}=3\\\dfrac{19}{x+y}+\dfrac{16}{x-y}=1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=u\\\dfrac{1}{x-y}=v\end{matrix}\right.\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}38u+64v=3\\19u+16v=1\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{38}\\v=\dfrac{1}{32}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{38}\\\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{32}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=38\\x-y=32\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=35\\y=3\end{matrix}\right.\)

4.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h), vận tốc xe thứ hai là y (km/h)

Tổng vận tốc hai xe là: \(x+y\) (km/h)

Do hai xe đi ngược chiều gặp nhau sau 2 giờ nên ta có: \(x+y=\dfrac{100}{2}=50\) (km/h) (1)

Đổi 2h30ph=5/2 giờ và 30ph=1/2 giờ

Trong 2 giờ 30 phút xe thứ nhất đi được quãng đường là: \(\dfrac{5}{2}x\) (km)

Độ dài đoạn đường còn lại là: \(100-\dfrac{5}{2}x\) (km)

Do trên đoạn đường còn lại 2 xe gặp nhau sau 30 phút nên ta có:

\(x+y=\dfrac{100-\dfrac{5x}{2}}{\dfrac{1}{2}}\) \(\Leftrightarrow6x+y=200\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=50\\6x+y=200\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=20\end{matrix}\right.\)

Câu 39:

Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 được giao theo kế hoạch lần lượt là a(sản phẩm) và b(sản phẩm)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Tổng số sản phẩm theo kế hoạch ban đầu là 330 nên a+b=330(1)

Thực tế tổ 1 đã sản xuất được: \(a\left(1+10\%\right)=1,1a\left(sảnphẩm\right)\)

Số sản phẩm tổ 2 thực tế đã sản xuất được là: \(b\left(1-15\%\right)=0,85b\left(sảnphẩm\right)\)

Cả hai tổ làm được 318 sản phẩm nên 1,1a+0,85b=318(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=330\\1,1a+0,85b=318\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1,1a+1,1b=363\\1,1a+0,85b=318\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}0,25b=45\\a+b=330\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=180\\a=330-180=150\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: Theo kế hoạch, tổ 1 được giao thực hiện 150 sản phẩm và tổ 2 được giao thực hiện 180 sản phẩm

Câu 33:

Gọi số cây chi đoàn dự định trồng trong một ngày là x(cây)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số cây chi đoàn trong 1 ngày thực tế trồng được là x+15(cây)

Thời gian dự kiến ban đầu là \(\dfrac{240}{x}\left(ngày\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là:

\(\dfrac{240+30}{x+15}=\dfrac{270}{x+15}\left(ngày\right)\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{240}{x}-\dfrac{270}{x+15}=2\)

=>\(\dfrac{240\left(x+15\right)-270x}{x\left(x+15\right)}=2\)

=>\(240x+3600-270x=2x\left(x+15\right)\)

=>\(2x^2+30x=-30x+3600\)

=>\(2x^2+60x-3600=0\)

=>\(x^2+30x-1800=0\)

=>(x+60)(x-30)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+60=0\\x-30=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=30\left(nhận\right)\\x=-60\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Mỗi ngày chi đoàn dự định trồng 30 cây

Bài 6:

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x(giờ), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y(giờ)

(Điều kiện: x>0 và y>0)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được \(\dfrac{1}{12}\left(bể\right)\)

Do đó: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\)

Trong 4 giờ, vòi 2 chảy được \(\dfrac{4}{y}\left(bể\right)\)

Trong 4+14=18 giờ, vòi 1 chảy được \(\dfrac{18}{x}\left(bể\right)\)
Vì khi mở hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi 2 lại và mở vòi 1 trong 14 giờ tiếp theo thì đầy bể nên ta có: 

\(\dfrac{18}{x}+\dfrac{4}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{18}{x}+\dfrac{4}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{18}{x}+\dfrac{4}{y}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{14}{x}=-\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=21\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{21}=\dfrac{1}{28}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=21\\y=28\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
Vậy: Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là 21 giờ và 28 giờ

Câu 5:

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x(giờ), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y(giờ)

(Điều kiện: x>0 và y>0)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được \(\dfrac{1}{6}\left(bể\right)\)

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\left(3\right)\)

Trong 3 giờ, vòi 1 chảy được \(3\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}\left(bể\right)\)

Trong 4 giờ, vòi 2 chảy được \(4\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{y}\left(bể\right)\)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 3 giờ và sau đó mở vòi 2 chảy trong 4 giờ thì được 60% bể nên ta có:

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=60\%=\dfrac{3}{5}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{5-6}{10}=-\dfrac{1}{10}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=10\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=10\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là 15 giờ và 10 giờ

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Tổng của hai chữ số là 10 nên a+b=10(1)

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số lớn hơn số đã cho là 36 nên ta có:

\(\overline{ba}-\overline{ab}=36\)

=>\(10b+a-\left(10a+b\right)=36\)

=>10b+a-10a-b=36

=>-9a+9b=36

=>a-b=-4(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\a-b=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+a-b=10-4\\a+b=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=6\\b=10-a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=10-3=7\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số cần tìm là 37