Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

- Gọi vận tốc của ca nô là x ( km/h , x > 0 )

- Gọi vận tốc của dòng nước là y ( km/h, y > 0 )

- Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )

- Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là : x - y ( km/h )

- Thời gian ca nô xuôi dòng trong 108 km là : \(\frac{108}{x+y}\) ( giờ )

- Thời gian ca nô ngược dòng trong 63 km là : \(\frac{63}{x-y}\) ( giờ )

Theo đề bài tổng thời gian xuôi dòng trong 108 km và ngược dòng trong 53 km là 7 giờ nên ta có phương trình : \(\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7\) ( I )

- Thời gian ca nô xuôi dòng trong 81 km là : \(\frac{81}{x+y}\) ( giờ )

- Thời gian ca nô xuôi dòng trong 84 km là : \(\frac{84}{x-y}\) ( giờ )

Theo đề bài tổng thời gian xuôi dòng trong 81 km và ngược dòng trong 84 km là 7 giờ nên ta có phương trình : \(\frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7\) ( II )

Từ ( I ) và ( II ) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7\\\frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7\end{matrix}\right.\)

- Đặt \(\frac{1}{x+y}=a,\frac{1}{x-y}=b\) ta được hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}108a+63b=7\\81a+84b=7\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}108a+63b=7\\27a-21b=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}108\left(\frac{21b}{27}\right)+63b=7\\a=\frac{21b}{27}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=\frac{1}{21}\\a=\frac{21\left(\frac{1}{21}\right)}{27}=\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\)

- Thay lại\(\frac{1}{x+y}=a,\frac{1}{x-y}=b\) ta được hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x-y}=\frac{1}{21}\\\frac{1}{x+y}=\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=27\\x-y=21\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}21+y+y=27\\x=21+y\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=21+2=23\end{matrix}\right.\) ( TM )

Vậy vận tốc thật của ca nô là 23km/h và dòng nước là 2km/h .

Gọi số dụng cụ mỗi ngày người thứ nhất phải làm là x (dụng cụ, x>0) và số dụng cụ mỗi ngày người thứ hai phải làm là x+4.

Thời gian người thứ nhất làm xong trong \(\frac{810}{x}\), thời gian người thứ hai làm xong trong \(\frac{900}{x+4}\). Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{810}{x}+3=\frac{900}{x+4}+6\Leftrightarrow\frac{900}{x+4}-\frac{810}{x}+3=0\Leftrightarrow\frac{300}{x+4}-\frac{270}{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\) 300x-270(x+4)+x(x+4)=0 \(\Leftrightarrow\) 300x-270x-1080+\(x^2\)+4x=0

\(\Leftrightarrow\) \(x^2\)+34x-1080=0 \(\Leftrightarrow\) x=3 và x= -70 (loại).

Vậy mỗi ngày người thứ nhất phải làm 3 dụng cụ, người thứ hai phải làm 7 dụng cụ.