Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang

Xét hình thang ABNM có

P là trung điểm của AM

PQ//MN//AB

Do đó: Q là trung điểm của BN

=>PQ là đường trung bình

=>x=(10+y)/2

=>2x-y=10(1)

Xét hình thang PQCD có

M là trung điểm của PD

MN//PQ//CD
Do đó: N là trung điểm của QC

=>MN là đường trung bình

=>y=(x+20)/2

=>2y=x+20

=>x-2y=-20(2)

Từ (1) và (2) suy ra x=40/3; y=50/3

Đường trung bình của tam giác:

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba,

Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

∆ABC, AD = DB, AE = EC => DE // BC, DE = \(\frac{1}{2}\)BC

?4:

Xét ΔADC có

E là trung điểm của AD

EI//DC

Do đó:I là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

I là trung điểm của CA

IF//AB

Do đó: F là trug điểm của BC

?2:

Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC

=>góc ADE=góc ABC

Bạn cho mk đề bài đầy đủ

a: Xét ΔBDC có ME//BD

nên CE/ED=CM/MB=1

=>CE=ED

=>E là trung điểm của CD

=>ME là đường trung bình của ΔBDC

b: Xét ΔAME có

I là trung điểm của AM

ID//ME

Do đó: D là trung điểm của AE

=>AD=DE=EC
=>AD=1/2DC

c: ID=1/2ME

ME=1/2BD

=>\(ID=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{4}BD\)

Xét hình thang ABCD(AB//CD) có : NB=NC; MD=MA

⇒⇒ MN là đường trung bình hình thang ABCD

⇒⇒ MN//AB \(^{\left(1\right)}\)

Ta có: △BCA có NB=NC; PC=PA

⇒ NP là đường trung bình của △BCA

⇒ NP//CD

⇒ NP//AB (vì AB//CD) \(^{\left(2\right)}\)

Ta có: △CDA có MD=MA; PC=PA

⇒ MP là đường trung bình của △CDA

⇒ MP//CD ⇒ MP//AB \(^{\left(3\right)}\)

Từ(1); (2) ;(3)⇒ M,N,P thẳng hàng(*)

Ta có: △CDB có QD=QB; NC=NB

⇒ NQ là đường trung bình của △CDB

⇒ NQ//CD ⇒ NQ//AB(4)

Ta có: △ADB có QD=QB ; MD=MA

⇒ MQ là đường trung bình của △ADB

⇒ MQ//CD ⇒ MQ//AB(4)

Từ(1), (3), (4) ⇒ N,Q,M thẳng hàng (**)

Từ(*); (**) ⇒⇒ N,Q,P,M thẳng hàng

b. Ta có: NM là đường trung bình hình thang ABCD

\(\Rightarrow MN=\dfrac{x+y}{2}\)

Ta có NQ và MP là đưởng trung bình của △CDB và △CDA

\(\Rightarrow NQ=MP=\dfrac{y}{2}\)

Ta lại có:\(NQ+QP+PM=\dfrac{x+y}{2}\)

Hay \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}\)

⇔ \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}-y=\dfrac{x+y-2y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)

⇒ \(MN+PQ=\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}=\dfrac{x+y+x-y}{2}=\dfrac{2x}{2}=x\)

c) Ta có: MP=PQ=QN

⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)

⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y+y}{4}\) (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{2}=\dfrac{x}{4}\Leftrightarrow4y=2x\Leftrightarrow x=2y\)

a: Xét ΔDAB có M,Q lần lượt là trung điểm của DA và DB

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//AB(1) và MQ=AB/2

Xét ΔCAB có N,P lần lượt là trung điểm của CB và CA
nên NP là đường trung bình

=>NP//AB(2) và NP=AB/2

Xét hình thang ABCD có

M.N lần lượt là trung điểm của AD và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN//AB//CD(3) và MN=(AB+CD)/2

Từ (1), (2) và(3) suy ra M,Q,P,N thẳng hàng

b: MN=(a+b)/2

PQ=MN-MQ-NP

\(=\dfrac{1}{2}\left|a-b\right|=\dfrac{1}{2}\left(b-a\right)\)

a: AB/AC=3/4 nên HB/HC=9/16

mà HB+HC=15

nên HB=5,4cm; HC=9,6cm

b: \(AB=\sqrt{5.4\cdot15}=9\left(cm\right)\)

AC=12cm

Xét ΔBAC có AD là phân giác

nên BD/BA=CD/CA
hay BD/3=CD/4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{15}{7}\)

=>BD=45/7cm; CD=60/7cm

HD=BD-HB=45/7-5,4=36/35(cm)

ΔAHC có: MA = MH; NC = NH (gt)

⇒ MN là đường trung bình của ΔAHC

⇒ MN // AC

Mà AC ⊥ AB ( ΔABC vuông tại A )

⇒ MN ⊥ AB

ΔABN có: Hai đường cao AH và NM giao nhau tại M

⇒ M là trực tâm của ΔABN

⇒ BM ⊥ AN (đpcm)

ΔAHC có: MA = MH; NC = NH (gt)

⇒ MN là đường trung bình của ΔAHC

⇒ MN // AC

Mà AC ⊥ AB ( ΔABC vuông tại A )

⇒ MN ⊥ AB

ΔABN có: Hai đường cao AH và NM giao nhau tại M

⇒ M là trực tâm của ΔABN

⇒ BM ⊥ AN (đpcm)

Coihình thang đề bài cho là hình thang ABCD(AB//CD)

Gọi M,N lần lượt là trung điểmcủa AD và BC, MN cắt AC và BD lần lượt tại Q và P

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD.BC

nên MN là đường trung bình

=>MN=(AB+CD)/2

Xét ΔDAB có MP//AB

nên MP/AB=DM/DA=1/2

=>MP=AB/2

Xét ΔCAB cso NQ//AB

nên NQ/AB=CN/CB=1/2

=>NQ=1/2BA

\(PQ=MN-MP-NQ\)

\(=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AB\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)

(tự vẽ hình nha bạn )

Xét tứ giác ABCD có:

M là trung điểm AD;

N là trung điểm BC;

I là trung điểm AC.
Theo gt ta có: MN=AB+CD2MN=AB+CD2
Mặt khác theo t/c đường trung bình ta có:
MI là đường trung bình trong ΔADCΔADC
=>MI=DC2=>MI=DC2
NI là đường trung bình trong ΔACBΔACB
=>NI=AB2=>NI=AB2
=>MI+NI=AB+DC2=>MI+NI=AB+DC2
=>MI+NI=NM=>MI+NI=NM
<=>I∈MN<=>I∈MN
Thật vậy : Nếu I không nằm trên MN thì trong ΔMNIΔMNI có MI+NIMI+NI>MNMN
Do M,N,I thẳng hàng nên:
MN//AB//DCMN//AB//DC
=>ABCD=>ABCD là hình thang