Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang

Sửa đề: gọi O là giao của AB với GI

Xét hình thang GHIK có

A,B lần lượt là trung điểm của GK,HI

=>AB là đường trung bình

=>AB//KI//GH 

Xét ΔGKI có

A là trung điểm của GK

AO//KI

=>O là trung điểm của GI

a) HK là đường trung bình của ΔABC nên \(HK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\); HK//AB.

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{KHC}\)

AN,FH là trung tuyến của ΔACF đều nên \(AN=FH;\widehat{FHC}=90^0;\widehat{CAN}=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KHF}=\widehat{KHC}+90^0=\widehat{BAC}+90^0\left(2\right)\)

Ta có: \(\widehat{MAN}=60^0+\widehat{BAC}+30^0=\widehat{BAC}+90^0\left(3\right)\)

\(\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{KHF}=\widehat{BAC}\left(4\right)\)

M là trung điểm AE nên \(AM=\dfrac{1}{2}AE\).

Mà \(HK=\dfrac{1}{2}AB;AB=AE\) (t/c tam giác đều).

\(\Rightarrow AM=HK\left(5\right)\)

\(\left(1\right)\left(4\right)\left(5\right)\Rightarrow\)ΔAMN=ΔHKF (c-g-c).

b) Gọi G là trung điểm của MN.

\(CD=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}.2CK=\dfrac{1}{2}CK\) \(\Rightarrow\)D là trung điểm CK.

\(\Rightarrow\)DN là đường trung bình của ΔCKF.

\(\Rightarrow DN=\dfrac{1}{2}KF=GN=GM\); DN//CF.

Ta có: \(\widehat{MND}=90^0-\widehat{ANM}-\widehat{DNC}\)

\(=90^0-\widehat{ANM}-\widehat{KCF}\)

\(=90^0-\widehat{ANM}-\left(30^0-\widehat{HFK}\right)\)

\(=90^0-\widehat{ANM}-30^0+\widehat{HFK}\)

\(=60^0\) (ΔAMN=ΔHKF)

\(\Rightarrow\)ΔDNG đều.

\(\Rightarrow DG=NG=\dfrac{1}{2}MN\) nên ΔDMN vuông tại D.

\(\Rightarrowđpcm\)

a) Do D là trung điểm BH

E là trung điểm AH

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác AHB

Suy ra DE // AB

b) So DE // AB

AB vuông góc AC

Suy ra DE vuông góc AC

Suy ra DE là đường cao  ủa tam giác ADC

Lại có AH vuông góc BC

Suy ra AH vuông góc CD

Suy ra AH là đường cao thứ hai của tam giác ADC

Tam giác ADC có AH và DE là hai đường cao cắt nhau tại E

Suy ra CE là đường cao thứ ba của tam giác ADC

Vậy CE vuông góc AD

Hình vẽ

a: Xét ΔABI có AE/AB=AK/AI

nên EK//BI

b: Xét ΔEKC có

F là trung điểm của CE

FI//EK

=>I là trung điểm của KC

=>IK=IC

=>Fi=1/2EK

c: FI=1/2EK=1/4BI

Thực tế thì $BD$ không thể bằng 5 cm. Bạn coi lại đề.

a: Xét ΔABC có AM/AC=AN/AB=1/2

nên MN là đường trung bình

b: MN=20/2=10cm

a: ΔBAC vuông tại B

mà BI là trung tuyến

nên IB=IC

a: Xét hình thang ABCD có

E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>EF là đường trung bình

=>EF=(4+7)/2=5,5cm

Sửa đề: I là trung điểm của MB. Tính IK

a: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC=1/2

nên MN//BC và MN=1/2BC=6cm

b: Xét hình thang BMNC có

I,K lần lượt là trung điểm của MB,CN

=>IK là đường trung bình

=>IK=1/2(12+6)=9cm