Cho ΔABC ngoại tiếp (I;R). Các tiếp tuyến của (I): MN // BC, DE // AC, PQ // AB. Ký hiệu các bán kính các đường tròn nội tiêp các ΔAMN, ΔBDE, ΔCPQ thứ tự là R1, R2, R3.
Chứng minh R = R1 + R2 + R3
Chương II - Đường tròn
Lời giải:
Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ. Trong đó:
K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN
\(KL\perp AM; IU\perp AB (L\in AM; U\in AB)\)
Ký hiệu \(p_i\) là nửa chu vi tam giác \(i\)
\(A,K,I\) thẳng hàng vì cùng nằm trên đường phân giác trong góc A.
Dễ thấy:
\(\triangle AMN\sim \triangle ABC(g.g)\)\(\Rightarrow \frac{p_{AMN}}{p_{ABC}}=\frac{AM}{AB}\)
\(\triangle AMK\sim \triangle ABI(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AI}\)
Mà \(LK\parallel IU \) nên theo Talet thì \(\frac{AK}{AI}=\frac{LK}{IU}=\frac{R_1}{R}\)
Do đó: \(\frac{p_{AMN}}{p_{ABC}}=\frac{R_1}{R}\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(\frac{p_{CPQ}}{p_{ABC}}=\frac{R_2}{R}; \frac{p_{BED}}{p_{ABC}}=\frac{R_3}{R}\). Do đó:
\(\frac{R_1+R_2+R_3}{R}=\frac{p_{AMN}+p_{CPQ}+p_{BED}}{p_{ABC}}=\frac{AM+AN+MN+BE+BD+ED+CP+CQ+PQ}{AB+AC+BC}\)
\(=\frac{(AM+AN+CP+CQ+BE+BD)+(MN+DE+PQ)}{(AM+AN+CP+CQ+BE+BD)+(ME+NP+DQ)}=1\)
(do \(MN+DE+PQ=ME+NP+DQ\) do tính chất các tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow R_1+R_2+R_3=R\)
Ta có đpcm.
Đúng 8
Bình luận (2)
cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nữa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx tại O. a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA). b) Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn.
5/ Cho đường tròn tâm O, bán kính OA=R. Gọi I là trung điểm của OA, đường thẳng vuống góc với OA tại I cắt đường tròn (O) tại C và D
a/ Chứng minh IC=ID b/Tính số đo \(\widehat{COA}\) c/ Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OA tại M. Tính diện tích tam giác ACM biết bán kính R=5
Cho đtròn (O;R) M nằm ngoài đtròn sao cho OM = 2R vẽ tiếp tuyến MA của (O) vs A là tiếp điểm
a) tgiác OAM là tgiác gì ? Tính cạnh và góc tgiác OAM
b) kẻ tiếp tuyến MB của (O) CM: OM vuông góc với AB
c) vẽ cát tuyến MEF vs đtròn (O) (E nằm giữa M,F) gọi I là trung điểm của EF . CM 5 điểm A,O,I,B,M cùng thuộc 1 đtròn
Xem chi tiết
Cho đtròn (O;R) và điểm A sao cho OA = 2R . Vẽ các tiếp tuyến AB,AC vs (O)
a) CM: tam giác ABC là tgiác đều. Tính cạnh và diện tích tgiác ABC
b)CM: OA là trung trực của BC => OA vuông góc vs BC
c) đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D. Đường vuông góc với OC cắt AB tại E. CM: ADOE là h.thoi
d) tính DE và CM DE là tiếp tuyến đtròn (O)
Xem chi tiết
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R, I là trung điểm AO.Dựng đường thẳng d đi qua I vuông góc với AB cắt đường tròn tại K. Lấy 1 điểm C thuộc IK, AC cắt nửa đường tròn tại M. Tiếp tuyến qua M cắt d tại N, BM cắt d tại D.
a) Chứng minh N là trung điểm CD
b) Tính CD khi C là trung điểm của IK
Cần Ý B
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho OM 2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn(O;R) (A,B là các tiếp điểm). Đoạn thảng MO cắt đường tròn (O;R)tại P và cắt AB tại H. Tia AO cắt đường tròn (O;R) tại D và cắt tia MB tại K. Nối PK cắt BD tại G
a)CM 4 điểm M,A,O,B cùng nằm trên đường tròn
b) CM MO//BD
c) CM OG vuông góc với BD
d)Từ trung điểm I của AH vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt đường tròn (O;R) tại Q và J. CM MO là tiếp tuyến của (A;AQ)
Đọc tiếp
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho OM =2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn(O;R) (A,B là các tiếp điểm). Đoạn thảng MO cắt đường tròn (O;R)tại P và cắt AB tại H. Tia AO cắt đường tròn (O;R) tại D và cắt tia MB tại K. Nối PK cắt BD tại G
a)CM 4 điểm M,A,O,B cùng nằm trên đường tròn
b) CM MO//BD
c) CM OG vuông góc với BD
d)Từ trung điểm I của AH vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt đường tròn (O;R) tại Q và J. CM MO là tiếp tuyến của (A;AQ)
Cho nửa đường tròn (O) bán kính R; đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy M sao cho AM>R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D. c, Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh: OK⊥BM
Xem chi tiết
Cho nửa đường tròn (O) bán kính R; đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy M sao cho AM>R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D. c, Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh: OK⊥BM
Xem chi tiết
Cho nửa đường tròn (O) bán kính R; đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy M sao cho AMR. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D.
a, Chứng minh: MDMA + BD và ΔDeltaΔOMD vuông.
b, Cho AM 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM.
c, Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh: OK ⊥perp⊥BM
Đọc tiếp