Chương II - Đường tròn

a) Gọi M là trung điểm của OA

Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)

mà BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(M là trung điểm của OA)

nên \(BM=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)

mà CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(M là trung điểm của OA)

nên \(CM=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: M là trung điểm của OA(gt)

nên \(OM=AM=\dfrac{OA}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MA=MB=MO=MC

hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

b) Xét (O) có

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

⇔OA⊥BC

mà OA cắt BC tại H(gt)

nên OA⊥BC tại H(đpcm)

a) Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DB=DM(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CD=CM+DM(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và DM=DB(cmt)

nên CD=CA+DB

a) Xét ΔOAB có OA=OB(=R)

nên ΔOAB cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOAB cân tại O(cmt)

mà OC là đường cao ứng với cạnh đáy AB(OH⊥AB, C∈OH)

nên OC là đường phân giác ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

Xét ΔAOC và ΔBOC có

OA=OB(=R)

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)(cmt)

OC chung

Do đó: ΔAOC=ΔBOC(c-g-c)

⇒\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{OAC}=90^0\)(CA là tiếp tuyến của (O) có A là tiếp điểm)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

hay CB⊥OB tại B

Xét (O) có 

OB là bán kính

CB⊥OB tại B(cmt)

Do đó: CB là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

b) Xét (O) có 

OH là một phần đường kính

AB là dây

OH⊥AB tại H(gt)

Do đó: H là trung điểm của AB(Định lí đường kính vuông góc với dây)

⇒\(BH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OC, ta được:

\(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BO^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{12^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{20^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{12^2}-\dfrac{1}{20^2}=\dfrac{1}{144}-\dfrac{1}{400}=\dfrac{1}{225}\)

\(\Leftrightarrow BC^2=225\)

hay BC=15(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔOBC vuông tại B, ta được:

\(OC^2=OB^2+BC^2\)

\(\Leftrightarrow OC^2=15^2+20^2=625\)

hay OC=25(cm)

Vậy: OC=25cm

a) Xét (O) có 

NA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

NE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

Do đó: ON là tia phân giác của \(\widehat{AOE}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{AOE}=2\cdot\widehat{EON}\)

Xét (O) có 

ME là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OM là tia phân giác của \(\widehat{EOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{EOB}=2\cdot\widehat{EOM}\)

Ta có: \(\widehat{EOA}+\widehat{EOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

hay \(2\cdot\widehat{EON}+2\cdot\widehat{EOM}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EON}+\widehat{EOM}=90^0\)

hay \(\widehat{MON}=90^0\)(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào \(\Delta\)ONM vuông tại O có OE là đường cao ứng với cạnh huyền NM, ta được:

\(ME\cdot NE=OE^2\)

mà OE=R

nên \(ME\cdot NE=R^2\)(đpcm)