Chương II - Đường tròn

Ngọc Nhi
Xem chi tiết

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại M và M là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BM là đường cao

nên \(OM\cdot OA=OB^2\)

c: Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OG là đường trung tuyến

nên OG\(\perp\)EF

Xét ΔOGA vuông tại G và ΔOMH vuông tại M có

góc GOA chung

Do đó: ΔOGA đồng dạng với ΔOMH

=>OG/OM=OA/OH

=>\(OM\cdot OA=OG\cdot OH\)

d: Ta có: \(OM\cdot OA=OG\cdot OH\)

\(OM\cdot OA=OB^2\)

OB=OE

Do đó: \(OE^2=OG\cdot OH\)

=>\(\dfrac{OE}{OG}=\dfrac{OH}{OE}\)

Xét ΔOEH và ΔOGE có

\(\dfrac{OE}{OG}=\dfrac{OH}{OE}\)

\(\widehat{EOH}\) chung

Do đó: ΔOEH đồng dạng với ΔOGE

=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OGE}\)

=>\(\widehat{OEH}=90^0\)

=>HE là tiếp tuyến của (O)

Bình luận (0)
Trần Thị Phương Kim
Xem chi tiết

a: Xét tứ giác MBOC có \(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)

nên MBOC là tứ giác nội tiếp

=>M,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD tại C

Ta có: BC\(\perp\)CD

BC\(\perp\)OM

Do đó: CD//OM

c: Xét (O) có

ΔBHD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBHD vuông tại H

=>BH\(\perp\)HD tại H

=>BH\(\perp\)DM tại H

Xét ΔBDM vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MD=MB^2\left(3\right)\)

Xét ΔMBO vuông tại B có BI là đường cao

nên \(MI\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MH\cdot MD=MI\cdot MO\)

=>\(\dfrac{MH}{MO}=\dfrac{MI}{MD}\)

Xét ΔMHI và ΔMOD có

\(\dfrac{MH}{MO}=\dfrac{MI}{MD}\)

góc HMI chung

Do đó: ΔMHI đồng dạng với ΔMOD

=>\(\widehat{MIH}=\widehat{MDO}=\widehat{ODH}\)

mà \(\widehat{ODH}=\widehat{OHD}\)(ΔOHD cân tại O)

nên \(\widehat{MIH}=\widehat{OHD}\)

Bình luận (1)
Nguyễn Thanh Thêm
2 tháng 1 lúc 17:52

Dfg

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 12 2023 lúc 18:53

Câu 1:

a: \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{5}\cdot2+4}+\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{5}-2+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

b: \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{15+6\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{9-2\cdot3\cdot\sqrt{6}+6}+\sqrt{9+2\cdot3\cdot\sqrt{6}+6}\)

\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(3+\sqrt{6}\right)^2}\)

\(=3-\sqrt{6}+3+\sqrt{6}=6\)

Câu 2: ĐKXĐ: x>=5

\(\sqrt{4x-20}+3\sqrt{\dfrac{x-5}{9}}-\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{9x-45}=4\)

=>\(2\sqrt{x-5}+3\cdot\dfrac{\sqrt{x-5}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot3\sqrt{x-5}=4\)

=>\(2\sqrt{x-5}=4\)

=>\(\sqrt{x-5}=2\)

=>x-5=4

=>x=9(nhận)

Câu 4:

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=25\)

=>\(BC=\sqrt{25}=5\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH\cdot5=3^2=9\)

=>BH=9/5=1,8

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
29 tháng 12 2023 lúc 13:52

loading...

loading...

Bình luận (0)
Thanh Xuân
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 12 2023 lúc 12:22

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)

\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA đồng dạng với ΔNBD

=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)

Xét ΔCDB có \(\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{CM}{MD}\)

nên MN//BD

Bình luận (0)
nasa
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
22 tháng 12 2023 lúc 17:53

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

b: Xét ΔBFC có

O là trung điểm của BC

OH//CF

Do đó: H là trung điểm của BF

Bình luận (0)
Kaarthik001
22 tháng 12 2023 lúc 18:59
a) Để chứng minh BE song song với AC, ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của chúng bằng nhau.Gọi góc BAC là α và góc BEC là β.Vì BE và AC là hai đường thẳng song song, nên góc α và góc β là cặp góc tương ứng.Để chứng minh BE song song với AC, ta cần chứng minh rằng α = β.b) Gọi điểm giao của CF và OA là H.Theo giả thiết, CF song song với OA. Vì vậy, góc CHF và góc OAH là cặp góc đồng quy.Để chứng minh BF đi qua H, ta cần chứng minh rằng góc CHF và góc OAH là cặp góc đồng nhất.Tuy nhiên, không có đủ thông tin trong câu hỏi để chứng minh điều này. Cần có thêm thông tin hoặc hình vẽ để tiếp tục chứng minh.
Bình luận (0)
an pham
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
22 tháng 12 2023 lúc 17:29

a: Xét ΔBAO có

BH là đường cao

BH là đường trung tuyến

Do đó: ΔBAO cân tại B

Xét ΔBAO cân tại B có OA=OB(=R)

nên ΔBAO đều

=>\(\widehat{BOA}=60^0\)

Xét ΔBMO vuông tại B có \(tanBOM=\dfrac{BM}{BO}\)

=>\(\dfrac{BM}{6}=tan60=\sqrt{3}\)

=>\(BM=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC và OH là phân giác của góc BOC

Xét tứ giác OBAC có

H là trung điểm chung của AO và BC

=>OBAC là hình bình hành

Hình bình hành OBAC có OB=OC

nên OBAC là hình thoi

c: Xét ΔOBM và ΔOCM có

OB=OC

\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOBM=ΔOCM

=>\(\widehat{OBM}=\widehat{OCM}\)

mà \(\widehat{OBM}=90^0\)

nên \(\widehat{OCM}=90^0\)

=>MC là tiếp tuyến của (O)

Bình luận (0)
Người Bí Ẩn
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 12 2023 lúc 11:51

a: Ta có: ΔCAD cân tại C

mà CH là đường cao

nên CH là phân giác của góc ACD

Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD

\(\widehat{ACB}=\widehat{DCB}\)

CB chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB

=>\(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}\)

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>BD là tiếp tuyến của (C)

b: Xét (C) có

PA,PM là các tiếp tuyến

Do đó: PA=PM và CP là phân giác của góc ACM

Vì CP là phân giác của góc ACM

nên \(\widehat{ACM}=2\cdot\widehat{PCM}\)

Xét (C) có

QM,QD là các tiếp tuyến

Do đó: CQ là phân giác của góc MCD

=>\(\widehat{MCD}=2\cdot\widehat{MCQ}\)

Ta có: \(\widehat{MCD}+\widehat{MCA}=\widehat{DCA}\)

=>\(\widehat{DCA}=2\cdot\left(\widehat{MCQ}+\widehat{MCP}\right)\)

=>\(\widehat{DCA}=2\cdot\widehat{PCQ}\)

=>\(\widehat{PCQ}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AD}}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBEF có

BC là đường cao

BC là đường phân giác

Do đó: ΔBEF cân tại B

=>BE=BF

Xét ΔBEF có \(\dfrac{BA}{BE}=\dfrac{BD}{BF}\)

nên AD//EF

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BEF}\)

mà \(\widehat{BAD}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AD}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung AD)

nên \(\widehat{BEF}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BEF}=\widehat{PCQ}\)

 

Bình luận (0)
Người Bí Ẩn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Phượng
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
20 tháng 12 2023 lúc 14:01

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC

Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

b: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OH\cdot OA=R^2\)

 

 

Bình luận (0)